Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1265 1266 1267 1268 1269 1270 1271 >> [Всего задач: 8157]

Задача 98596

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
	[	Внутренность и внешность. Лемма Жордана	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

а) Электрическая схема имеет вид решетки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от каждого узла к любому другому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться?

б) Тот же вопрос для решётки 5×5 (всего 36 узлов).

Прислать комментарий

Решение

Задача 98601

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Протасов В.Ю.

Окружности Ω₁ и Ω₂ пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, вторично пересекающая Ω₁ и Ω₂ в точках K и M соответственно. Прямая l₁ касается Ω₁ в точке Q и параллельна прямой AM. R – вторая точка пересечения прямой QA с Ω₂. Докажите, что
а) касательная l₂, проведённая к Ω₂ в точке R, параллельна AK.;
б) прямые l₁, l₂ и K имеют общую точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98602

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Авторы: Лагариас Дж., Рейнс И., Слоан Н.

Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2 соответственно, а каждый следующий член – это наименьшее натуральное число, которое еще не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое натуральное число входит в эту последовательность.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98621

Темы:	[	Итерации	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Предел функции	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Дан многочлен P(x) с действительными коэффициентами. Бесконечная последовательность различных натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ... такова, что
P(a₁) = 0, P(a₂) = a₁, P(a₃) = a₂, и т.д. Какую степень может иметь P(x)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98625

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Правило произведения	]
	[	Инварианты	]
	[	Линейная и полилинейная алгебра	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Токарев С.И.

В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1265 1266 1267 1268 1269 1270 1271 >> [Всего задач: 8157]