Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1625 1626 1627 1628 1629 1630 1631 >> [Всего задач: 8157]

Задача 109822

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 6+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

За круглым столом сидят 100 представителей 25 стран, по 4 представителя от каждой. Докажите, что их можно разбить на 4 группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и никакие двое из одной группы не сидят за столом рядом.

Прислать комментарий Решение

Задача 110795

Темы:	[	Теорема о группировке масс	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Авторы: Ганин Я., Rideau F.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD . A' , B' , C' , D' – ортоцентры треугольников BCD , CDA , DAB , ABC . Докажите, что в четырехугольниках ABCD и A'B'C'D' соответствующие диагонали делятся точками пересечения в одном и том же отношении.

Прислать комментарий Решение

Задача 111867

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Окружность Ферма-Аполлония	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Композиции гомотетий	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Шмаров В.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD . Пусть P и Q – точки пересечения лучей BA и CD , BC и AD соответственно, а H – проекция D на PQ . Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.

Прислать комментарий Решение

Задача 109732

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости даны два таких конечных набора P₁ и P₂ выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов P₁ и P₂ есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.

Прислать комментарий Решение

Задача 110151

Темы:	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Тригонометрические неравенства	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Автор: Сендеров В.А.

При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство

sin nα + sin nβ + sin nγ<0?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1625 1626 1627 1628 1629 1630 1631 >> [Всего задач: 8157]