Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1622 1623 1624 1625 1626 1627 1628 >> [Всего задач: 8157]

Задача 105191

Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Теоремы о среднем значении	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Сергеев И.Н.

Для заданных натуральных чисел k₀<k₁<k₂ выясните, какое наименьшее число корней на промежутке [0; 2π) может иметь уравнение вида

sin(k₀x)+A₁·sin(k₁x) +A₂·sin(k₂x)=0

где A₁, A₂ – вещественные числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108158

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Автор: Сонкин М.

Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD , касается его сторон DA , AB , BC и CD в точках K , L , M и N соответственно. Пусть S1 , S2 , S3 и S4 – окружности, вписанные в треугольники AKL , BLM , CMN и DNK соответственно. К окружностям S1 и S2 , S2 и S3 , S3 и S4 , S4 и S1 проведены общие касательные, отличные от сторон четырёхугольника ABCD . Докажите, что четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными, – ромб.

Прислать комментарий Решение

Задача 109510

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Авторы: Августинович С., Фон-дер-Флаас Д.

Докажите, что существует такое натуральное число n , что если правильный треугольник со стороной n разбить прямыми, параллельными его сторонам, на n² правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать 1993n точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).

Прислать комментарий Решение

Задача 109604

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Авторы: Берзиньш А., Мусин О.

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

Прислать комментарий Решение

Задача 109667

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Непрерывность и компактность	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника m×n числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1622 1623 1624 1625 1626 1627 1628 >> [Всего задач: 8157]