Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1482 1483 1484 1485 1486 1487 1488 >> [Всего задач: 7526]

Задача 108204

Темы:	[	Неравенства с медианами	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Терешин Д.А.

Пусть a , b и c – стороны треугольника, m_a , m_b и m_c – медианы, проведённые к этим сторонам, D – диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что

+ + 6D.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108221

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянова Т.

В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.

Прислать комментарий Решение

Задача 108238

Темы:	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Площадь параллелограмма	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Авторы: Медников Л.Э., Сонкин М.

Дан треугольник A0B0C0 . На отрезке A0B0 отмечены точки A1 , A2, ,A_n , а на отрезке B0C0 – точки C1 , C2, , C_n , причём все отрезки A_iC_i+1 ( i=0,1, n-1 ), параллельны между собой и все отрезки C_iA_i+1 ( i=0,1, n-1 ) – тоже. Отрезки C0A1 , A1C2 , A2C1 и C1A0 ограничивают некоторый параллелограмм, отрезки C1A2 , A2C3 , A3C2 и C2A1 – тоже и т.д. Докажите, что сумма площадей всех n-1 получившихся параллелограммов меньше половины площади треугольника A0B0C0 .

Прислать комментарий Решение

Задача 34985

Тема:

[

Замощения костями домино и плитками

]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Клетки шахматной доски занумерованы числами от 1 до 32 так, что каждое число использовалось дважды. Докажите, что можно выбрать 32 клетки, занумерованные разными числами, так что на каждой вертикали и на каждой горизонтали найдется хотя бы по две выбранные клетки.

Прислать комментарий Решение

Задача 35031

Темы:	[	Теория групп	]
Темы:	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

На поверхности куба мелом отмечено 100 различных точек. Докажите, что можно двумя различными способами поставить кубик на черный стол (причем в точности на одно и то же место) так, чтобы отпечатки от мела на столе при этих способах были разными. (Если точка отмечена на ребре или в вершине, она тоже дает отпечаток.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1482 1483 1484 1485 1486 1487 1488 >> [Всего задач: 7526]