Страница: << 110 111 112 113 114 115 116 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109540

Темы:   [ Иррациональные неравенства ] [ Индукция (прочее) ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109542

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Выигрышные и проигрышные позиции ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.).

На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр – фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109550

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На доске написано число 0. Два игрока по очереди приписывают справа к выражению на доске: первый – знак + или - , второй – одно из натуральных чисел от 1 до 1993. Игроки делают по 1993 хода, причем второй записывает каждое из чисел от 1 до 1993 ровно по одному разу. В конце игры второй игрок получает выигрыш, равный модулю алгебраической суммы, написанной на доске. Какой наибольший выигрыш он может себе гарантировать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109553

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Две окружности S₁ и S₂ касаются внешним образом в точке F. Их общая касательная касается S₁ и S₂ в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB, касается окружности S₂ в точке C и пересекает окружность S₁ в точках D и E. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников ABC и BDE, проходит через точку F.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109555

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дана последовательность натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_n, в которой a₁ не делится на 5 и для всякого n  a_n+1 = a_n + b_n,  где b_n – последняя цифра числа a_n. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 110 111 112 113 114 115 116 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями