Страница: << 186 187 188 189 190 191 192 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109755

Темы:   [ Ориентированные графы ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В городе несколько площадей. Некоторые пары площадей соединены улицами с односторонним движением так, что с каждой площади можно выехать ровно по двум улицам. Докажите, что город можно разделить на 1014 районов так, чтобы улицами соединялись только площади из разных районов, и для каждых двух районов все соединяющие их улицы были направлены одинаково (либо все из первого района во второй, либо наоборот).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109758

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Обыкновенные дроби ] [ Индукция (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, для которых числитель несократимой дроби, равной  1 + ½ + ... + ¹/_n,  не является степенью простого числа с натуральным показателем.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109762

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Степень вершины ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

В некотором государстве было 2002 города, соединённых дорогами так, что если запретить проезд через любой из городов, то из каждого из оставшихся городов можно добраться до любого другого. Каждый год король выбирает некоторый несамопересекающийся циклический маршрут и приказывает построить новый город, соединить его дорогами со всеми городами выбранного маршрута, а все дороги этого маршрута закрыть за ненадобностью. Через несколько лет в стране не осталось ни одного несамопересекающегося циклического маршрута, проходящего по ее городам. Докажите, что в этот момент количество городов, из которых выходит ровно одна дорога, не меньше 2002.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109771

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Имеются одна красная и k  (k > 1)  синих ячеек, а также колода из 2n карт, занумерованных числами от 1 до 2n. Первоначально вся колода лежит в произвольном порядке в красной ячейке. Из любой ячейки можно взять верхнюю карту и переложить её либо в пустую ячейку, либо поверх карты с номером, большим на единицу. При каком наибольшем n можно такими операциями переложить всю колоду в одну из синих ячеек?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109777

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Теорема Виета ] [ Формула Герона ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Длины сторон треугольника являются корнями кубического уравнения с рациональными коэффициентами.
Докажите, что длины высот треугольника являются корнями уравнения шестой степени с рациональными коэффициентами.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 186 187 188 189 190 191 192 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями