ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      



Задача 109662  (#98.5.11.3)

Темы:   [ Свойства параллельного переноса ]
[ Метод ГМТ ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

На плоскости нарисовано некоторое семейство S правильных треугольников, получающихся друг из друга параллельными переносами, причем любые два треугольника пересекаются. Докажите, что найдутся три точки такие, что любой треугольник семейства S содержит хотя бы одну из них.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109663  (#98.5.11.4)

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Степень вершины ]
[ Метод спуска ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

В стране N  1998 городов, и из каждого осуществляются беспосадочные перелеты в три других города (все авиарейсы двусторонние). Известно, что из каждого города, сделав несколько пересадок, можно долететь до любого другого. Министерство Безопасности хочет объявить закрытыми 200 городов, никакие два из которых не соединены авиалинией. Докажите, что это можно сделать так, чтобы можно было долететь из каждого незакрытого города в любой другой, не делая пересадок в закрытых городах.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109664  (#98.5.11.5)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Внутри параболы  y = x²  расположены несовпадающие окружности ω1, ω2, ω3, ... так, что при каждом n > 1 окружность ωn касается ветвей параболы и внешним образом окружности ωn–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ1998, если известно, что диаметр ω1 равен 1 и она касается параболы в её вершине.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109665  (#98.5.11.6)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Возвратные уравнения ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 5-
Классы: 7,8,9,10,11

Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109666  (#98.5.11.7)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Метод ГМТ в пространстве ]
[ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Карасев Р.

В тетраэдр ABCD , длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .