Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64709  (#3)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Произведения и факториалы ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Натуральные числа от 1 до 2014 как-то разбили на пары, числа в каждой из пар сложили, а полученные 1007 сумм перемножили.
Мог ли результат оказаться квадратом натурального числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64715  (#3)

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Теорема косинусов ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дано n палочек. Из любых трёх можно сложить тупоугольный треугольник. Каково наибольшее возможное значение n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64721  (#3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC. Обозначим через M середину стороны AC, а через P – середину отрезка CM. Описанная окружность треугольника ABP пересекает сторону BC во внутренней точке Q. Докажите, что  ∠ABM = ∠MQP.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64725  (#3)

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Признаки подобия ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD с центром O отмечены такие точки P и Q соответственно, что  ∠AOP = ∠COQ = ∠ABC.
  а) Докажите, что  ∠ABP = ∠CBQ.
  б) Докажите, что прямые AQ и CP пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64730  (#3)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Докажите, что для любого натурального n найдётся натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается n единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из n единиц и двоек.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями