ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



Задача 64709  (#3)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Натуральные числа от 1 до 2014 как-то разбили на пары, числа в каждой из пар сложили, а полученные 1007 сумм перемножили.
Мог ли результат оказаться квадратом натурального числа?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64715  (#3)

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
[ Теорема косинусов ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Доказательство от противного ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Дано n палочек. Из любых трёх можно сложить тупоугольный треугольник. Каково наибольшее возможное значение n?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64721  (#3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC. Обозначим через M середину стороны AC, а через P – середину отрезка CM. Описанная окружность треугольника ABP пересекает сторону BC во внутренней точке Q. Докажите, что  ∠ABM = ∠MQP.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64725  (#3)

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Признаки подобия ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD с центром O отмечены такие точки P и Q соответственно, что  ∠AOP = ∠COQ = ∠ABC.
  а) Докажите, что  ∠ABP = ∠CBQ.
  б) Докажите, что прямые AQ и CP пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64730  (#3)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Докажите, что для любого натурального n найдётся натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается n единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из n единиц и двоек.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .