Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 66784 (#16 [9-11 кл])

Темы:	[	Радикальная ось	]
Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Плотников М.

В треугольнике $ABC$ $AH_1$ и $BH_2$ – высоты; касательная к описанной окружности в точке $A$ пересекает $BC$ в точке $S_1$, а касательная в точке $B$ пересекает $AC$ в точке $S_2$; $T_1$ и $T_2$ – середины отрезков $AS_1$ и $BS_2$. Докажите, что $T_1T_2$, $AB$ и $H_1H_2$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66785 (#17 [10-11 кл])

Темы:	[	Инверсия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Даны три окружности. Первая и вторая пересекаются в точках $A_0$ и $A_1$, вторая и третья – в точках $B_0$ и $B_1$, третья и первая – в точках $C_0$ и $C_1$. Пусть $O_{i,j,k}$ – центр описанной окружности треугольника $A_i B_j C_k$. Через все пары точек вида $O_{i,j,k}$ и $O_{1-i,1-j,1-k}$ провели прямые. Докажите, что эти 4 прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

Прислать комментарий Решение

Задача 66786 (#18 [10-11 кл])

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Белухов Н., Заславский А.А.

Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$. Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66787 (#19 [10-11 кл])

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Уткин А.

В треугольнике $ABC$ $AL_a$, $BL_b$, $CL_c$ – биссектрисы, $K_a$ – точка пересечения касательных к описанной окружности в вершинах $B$ и $C$; $K_b$, $K_c$ определены аналогично. Докажите, что прямые $K_aL_a$, $K_bL_b$ и $K_cL_c$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66788 (#20 [10-11 кл])

Темы:	[	Прямая Симсона	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

В треугольнике $ABC$ $O$ – центр описанной окружности, $H$ – ортоцентр, $M$ – середина $AB$. Прямая $MH$ пересекает прямую, проходящую через $O$ и параллельную $AB$, в точке $K$, лежащей на описанной окружности треугольника. Точка $P$ – проекция $K$ на $AC$. Докажите, что $PH\parallel BC$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]