ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



Задача 66774  (#6 [8-9 кл])

Темы:   [ Вписанные четырехугольники ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Центральная симметрия (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Два четырехугольника $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ симметричны друг другу относительно точки $P$. Известно, что четырехугольники $A_1BCD$, $AB_1CD$ и $ABC_1D$ вписанные. Докажите, что $ABCD_1$ тоже вписанный.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66775  (#7 [8-9 кл])

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бибиков П.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A$, $BH_B$, $CH_C$. Пусть $X$ – произвольная точка отрезка $CH_C$, а $P$ – точка пересечения окружностей с диаметрами $H_CX$ и $BC$, отличная от $H_C$. Прямые $CP$ и $AH_A$ пересекаются в точке $Q$, а прямые $XP$ и $AB$ – в точке $R$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $R$, $H_B$ лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66776  (#8 [8-9 кл])

Темы:   [ Параллелограммы (прочее) ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Mahdi Etesami Fard

Окружность $\omega_1$ проходит через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ и касается лучей $CB$, $CD$. Окружность $\omega_2$ касается лучей $AB$, $AD$ и касается внешним образом $\omega_1$ в точке $T$. Докажите, что $T$ лежит на диагонали $AC$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66777  (#9 [8-9 кл])

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

В остроугольном треугольнике $ABC$ $A_M$ – середина стороны $BC$, $A_H$ – основание высоты, опущенной на эту сторону. Аналогично определяются точки $B_M$, $B_H$, $C_M$, $C_H$. Докажите, что одно из отношений $A_MA_H:A_HA$, $B_MB_H:B_HB$, $C_MC_H:C_HC$ равно сумме двух других.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66778  (#10 [8-9 кл])

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Тригуб А.

В треугольнике $ABC$ $N$ – середина дуги $ABC$ описанной окружности треугольника, $NP$ и $NT$ – касательные к вписанной окружности. Прямые $BP$ и $BT$ пересекают второй раз описанную окружность треугольника в точках $P_1$ и $T_1$ соответственно. Докажите, что $PP_1=TT_1$.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .