Каталог по темам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 [Всего задач: 39]

Задача 98355

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Авторы: Сендеров В.А., Вялый М.Н.

Пусть 1 + x + x² + ... + x^n–1 = F(x)G(x), где F и G – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы (n > 1).
Докажите, что один из многочленов F, G представим в виде (1 + x + x² + ... + x^k–1)T(x), где T(x) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1 (k > 1).

Прислать комментарий

Решение

Задача 109710

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

Дана последовательность неотрицательных чисел a₁ , a₂ , a_n . Для любого k от 1 до n обозначим через m_k величину

_l=1,2,..,k .
Докажите, что при любом α>0 число тех k , для которых m_k>α , меньше, чем a₁+a₂+...+a_n α.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107997

Темы:	[	Плоскость, разрезанная прямыми	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Принцип крайнего	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Анджанс А.

Даны n точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек проведена прямая. Какое минимальное число попарно непараллельных прямых может быть среди них?

Прислать комментарий

Решение

Задача 58109

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Свойства параллельного переноса	]
	[	Площадь параллелограмма	]
	[	Покрытия	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся отрезки, сумма длин которых равна p. Обозначим эту систему отрезков A. Пусть B — дополнительная система отрезков (отрезки систем A и B не имеют общих внутренних точек и полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует параллельный перенос T, для которого пересечение B и T(A) состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше p(1 - p)/2.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 [Всего задач: 39]