Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан треугольник ABC. В нём R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, a – длина наибольшей стороны, h – длина наименьшей высоты. Докажите, что  ^R/_r > ^a/_h.

   Решение

---

Квадратные трёхчлены  P(x) = x² + ax + b  и  Q(x) = x² + cx + d  таковы, что уравнение  P(Q(x)) = Q(P(x))  не имеет действительных корней.
Докажите, что  b ≠ d .

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 [Всего задач: 64]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116164

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Углы между биссектрисами ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

B выпуклом четырёхугольнике ABCD:  AC ⊥ BD,  ∠BCA = 10°,  ∠BDA = 20°,  ∠BAC = 40°.  Найдите ∠BDC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64343

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ] [ Окружности, вписанные в сегмент ] [ Теорема синусов ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Трапеция ABCD вписана в окружность w  (AD || BC).  Окружности, вписанные в треугольники ABC и ABD, касаются оснований трапеции BC и AD в точках P и Q соответственно. Точки X и Y – середины дуг BC и AD окружности w, не содержащих точек A и B соответственно. Докажите, что прямые XP и YQ пересекаются на окружности w.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60868

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Правильные многоугольники ] [ Метод спуска ] [ Доказательство от противного ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при  n ≠ 4  не существует правильного n-угольника с вершинами в узлах решетки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111726

Темы:   [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 [Всего задач: 64]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями