По кругу лежит  $2n + 1$  монета орлом вверх. Двигаясь по часовой стрелке, делают  $2n + 1$  переворот: переворачивают какую-то монету, одну монету пропускают и переворачивают следующую, две монеты пропускают и переворачивают следующую, три монеты пропускают и переворачивают следующую, и т.д., наконец пропускают 2n монет и переворачивают следующую. Докажите, что теперь ровно одна монета лежит решкой вверх.

   Решение

Играют двое. У первого 1000 чётных карточек (2, 4, ..., 2000), у второго – 1001 нечётная (1, 3, ... , 2001). Ходят по очереди, начинает первый. Ход состоит в следующем: игрок, чья очередь ходить, выкладывает одну из своих карточек, а другой, посмотрев на неё, выкладывает одну из своих карточек; тот, у кого число на карточке больше, записывает себе одно очко, а обе выложенные карточки выбрасываются. Всего получается 1000 ходов (одна карточка второго не используется). Какое наибольшее число очков может гарантировать себе каждый из игроков (как бы ни играл его соперник)?

   Решение

Как замостить бесконечную клетчатую плоскость крестами, состоящими из пяти клеток?

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 545]      

Три окружности с центрами A, B и C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рисунке. Пусть a, b и c – радиусы окружностей с центрами A, B и C соответственно. Докажите, что .

Прислать комментарий

Решение

Прямоугольник площади 14 делит сторону квадрата в отношении 1 к 3 (см. рис). Найдите площадь квадрата.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне.

Прислать комментарий

Решение

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) высота AE = 12, а основание AC = 15. Найдите площадь треугольника.

Прислать комментарий

Решение

На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что AB² - AC² = MB² - MC².

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 545]