Каталог по темам

Задачи

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 267]

Задача 66006

Темы:	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Дан многочлен f(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx. Известно, что каждое из уравнений f(x) = 1 и f(x) = 2 имеет четыре корня. Докажите, что если для корней первого уравнения выполняется равенство x₁ + x₂ = x₃ + x₄, то и для корней второго уравнения выполняется аналогичное равенство.

Решение

Первый способ. Пусть x₁ + x₂ = x₃ + x₄ = m. Тогда f(x) – 1 = (x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)(x – x₄) = (x² – mx + x₁x₂)(x² – mx + x₃x₄).
Уравнение f(x) = 2 можно записать в виде (x² – mx + x₁x₂)(x² – mx + x₃x₄) = 1. Сделав замену y = x² – mx, получим уравнение
(y + x₁x₂)(y + x₃x₄) = 1. Так как уравнение f(x) = 2 имеет четыре корня, то это уравнение должно иметь два корня y₁ и y₂. При этом, два корня уравнения f(x) = 2 будут являться решениями уравнения x² – mx = y₁, а еще два – решениями уравнения x² – mx = y₂. Но в каждом из этих уравнений сумма корней равна m, поэтому для четырёх корней уравнения f(x) = 2 выполняется требуемое равенство.

Второй способ. Пусть ½ (x₁ + x₂) = ½ (x₃ + x₄) = n. Рассмотрим многочлен g(x) = f(x + n), тогда корнями уравнения g(x) = 1 будут являться числа
α_i = x_i – n, i = 1, 2, 3, 4. При этом, α₁ + α₂ = α₃ + α₄ = 0, то есть эти числа попарно противоположны. Значит, функция
g(x) = (x – α₁)(x – α₂)(x – α₃)(x – α₄) = (x – α₁)(x + α₁)(x – α₃)(x + α₃) = является чётной. Следовательно, корни уравнения g(x) = 2 также попарно противоположны.
Корни уравнения f(x) = 2 получатся из соответствующих корней уравнения g(x) = 2 прибавлением числа n, поэтому они будут обладать требуемым свойством.

Прислать комментарий

Задача 66108

Темы:	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Перпендикулярные прямые	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Производная и касательная	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Графики двух квадратных трёхчленов пересекаются в двух точках. В обеих точках касательные к графикам перпендикулярны.
Верно ли, что оси симметрии графиков совпадают?

Решение

Графики y = ⅛ (x² + 6x – 25) и y = ⅛ (25 + 6 – x²) имеют оси x = ±3, а пересекаются при x = ±5. Произведение тангенсов углов наклона касательных в точках пересечения равно ¹/₆₄ (2·5 + 6)(6 – 2·5) = –1. Значит, касательные в этих точках перпендикулярны.

Ответ

Неверно.

Прислать комментарий

Задача 105187

Темы:	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Сергеев И.Н.

Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами.

Решение

Достаточно доказать утверждение для трёхчленов вида ax² + c: остальные можно получить из них сдвигом вдоль оси абсцисс. Более того, можно считать a = 2: остальные трёхчлены указанного вида можно получить из таких умножением на число. Рассмотрим два случая.
1) c ≥ 0. Запишем c в виде 2d². Имеем: 2x² + 2d² = (x – d)² + (x + d)².
2) c < 0. Запишем c в виде – 4d². Имеем: 2x² – 4d² = 2(2(x – d)² – (x – 2d)²).

Прислать комментарий

Задача 109523

Темы:	[	Инварианты и полуинварианты (прочее)	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Перлин А.

Квадратный трёхчлен f(x) разрешается заменить на один из трёхчленов или Можно ли с помощью таких операций из квадратного трёхчлена x² + 4x + 3 получить трёхчлен x² + 10x + 9?

Решение

Нетрудно проверить, что данные преобразования взаимно обратны. Поэтому при положительном ответе на вопрос задачи один из данных трёхчленов можно было бы получить из другого применяя только первое преобразование (возможно, несколько раз). Но, как видно из решения 1, применяя первое преобразование к трёхчлену с натуральными коэффициентами мы будем получать снова трёхчлен с натуральными коэффициентами, а старший коэффициент будет возрастать. Поэтому снова получить приведённый трёхчлен не удастся.

Ответ

Нельзя.

Прислать комментарий

Задача 109558

Темы:	[	Уравнения с модулями	]
Темы:	[	Квадратные уравнения и системы уравнений	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Голованов А.С.

Даны три приведённых квадратных трехчлена: P₁(x), P₂(x) и P₃(x). Докажите, что уравнение |P₁(x)| + |P₂(x)| = |P₃(x)| имеет не более восьми корней.

Решение

Каждый корень данного уравнения является корнем одного из квадратных трёхчленов ± P₁ ± P₂ ± P₃ с некоторым набором знаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трёхчлены, так как коэффициент при x² нечётен. Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения, имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения |P₁(x)| + |P₂(x)| = |P₃(x)| содержатся среди корней четырёх квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми.

Прислать комментарий

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 267]