Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 69]
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Пусть P – точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника ABC относительно середины стороны BC, M – вторая точка пересечения прямой DP с описанной окружностью. Докажите, что расстояние от точки M до одной из вершин A, B, C равно сумме расстояний от M до двух других вершин.
Имеется инструмент для геометрических построений на
плоскости ("угольник"), позволяющий делать следующее:
а) если даны две точки, то можно провести проходящую
через них прямую;
б) если дана прямая и точка на ней, то можно восставить
перпендикуляр к этой прямой в данной точке.
Как с помощью этого инструмента опустить перпендикуляр
из данной точки на прямую, не проходящую через эту точку?
На отрезке AB взята точка C. Прямая, проходящая через точку
C, пересекает окружности с диаметрами AC и BC в точках K и L, а
также окружность с диаметром AB — в точках M и N. Докажите, что
KM = LN.
ABCD – выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные
на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются внешним образом
в точке M , отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника.
Окружность, проходящая через точки A , M и C , вторично пересекает
прямую, соединяющую точку M и середину AB в точке K , а окружность,
проходящая через точки B , M и D , вторично пересекает ту же прямую
в точке L . Докажите, что |MK-ML| = |AB-CD| .
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
Внутри окружности радиуса n расположено 4n отрезков длиной 1.
Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную
данной прямой l и пересекающую по крайней мере два данных отрезка.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 69]
Фильтр
