Проекции плоского выпуклого многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов соответственно равны 4, 3, 5, 4. Площадь многоугольника равна S. Доказать, что S10.

   Решение

Дан треугольник ABC. Tочки A₁, B₁ и C₁ симметричны его вершинам относительно противоположных сторон. C₂ – точка пересечения прямых AB₁ и BA₁, точки A₂ и B₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ параллельны.

   Решение

Международная комиссия состоит из девяти человек. Материалы комиссии хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, сколько ключей для них нужно изготовить и как их разделить между членами комиссии, чтобы доступ к сейфу был возможен тогда и только тогда, когда соберутся не менее шести членов комиссии?

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 296]      

Углы, образованные сторонами правильного треугольника с некоторой плоскостью, равны α, β и γ. Доказать, что одно из чисел sin α, sin β, sin γ равно сумме двух других.

Прислать комментарий

Решение

Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с BA соответственно. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC взяты точки D и K, а на стороне AC – точки E и M, причём  DA + AE = KC + CM = AB.
Докажите, что угол между прямыми DM и KE равен 60°.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри данного равностороннего треугольника до его сторон всегда одна и та же.

Прислать комментарий

Решение

Дан равносторонний треугольник ABC. Сторона BC разделена на три равные части точками K и L, а точка M делит сторону AC в отношении  1 : 2,  считая от вершины A. Докажите, что сумма углов AKM и ALM равна 30°.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 296]