В четырёхугольнике PQRS найдите такую точку T , для которой отношение площадей треугольников RQT и PST было равно 2:1, а треугольников SRT и PQT — 1:5, если известны координаты всех его вершин: P(6;-2) , Q(3;4) , R(-3;4) , S(0;-2) .

   Решение

В классе учатся 38 человек. Докажите, что среди них найдутся четверо, родившихся в один месяц.

   Решение

По кругу стоят 10 детей разного роста. Время от времени один из них перебегает на другое место (между какими-то двумя детьми). Дети хотят как можно скорее встать по росту в порядке возрастания по часовой стрелке (от самого низкого к самому высокому). Какого наименьшего количества таких перебежек им заведомо хватит, как бы они ни стояли изначально?

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 122]      

Пусть AA₁ — медиана треугольника ABC. Докажите, что угол A острый тогда и только тогда, когда AA₁ > BC.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если внутри треугольника ABC существует точка D, для которой AD = AB, то AB < AC.

Прислать комментарий

Решение

Дан квадрат, внутри которого лежит точка O. Докажите, что сумма углов OAB, OBC, OCD и ODA отличается от 180° не больше чем на 45°.

Прислать комментарий

Решение

Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC провели биссектрису CK, а в треугольнике BCK – биссектрису KL. Прямые AC и KL пересекаются в точке M. Известно, что
∠A > ∠C.  Докажите, что  AK + KC > AM.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 122]