Каталог по темам

Задачи

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 159]

Задача 60525

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть a и b – натуральные взаимно простые числа. Рассмотрим точки плоскости с целыми координатами (x, y), лежащие в полосе 0 ≤ x ≤ b – 1. Каждой такой точке припишем целое число N(x, y) = ax + by.
а) Докажите, что для каждого натурального c существует ровно одна точка (x, y) (0 ≤ x ≤ b – 1), для которой N(x, y) = c.
б) Теорема Сильвестра. Докажите, что наибольшее c, для которого уравнение ax + by = c не имеет решений в целых неотрицательных числах, имеет вид
c = ab – a – b.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67505

Темы:	[	Параллельное проектирование (прочее)	]
	[	Площадь (прочее)	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Дидин М.

На плоскости стояло ведро, верхнее основание больше нижнего. Ведро перевернули. Докажите, что площадь его видимой тени уменьшилась. (Ведро — это прямой круговой усечённый конус: его основания — два круга, лежащие в параллельных плоскостях, центры кругов лежат на прямой, перпендикулярной этим плоскостям. Видимая тень — это вся тень, кроме тени под ведром. Солнечные лучи считайте параллельными.)

Прислать комментарий Решение

Задача 115779

Темы:	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Протасов В.Ю.

На сторонах угла взяты точки A, B. Через середину M отрезка AB проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках A₁, B₁, другая – в точках A₂ , B₂. Прямые A₁B₂ и A₂B₁ пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что M – середина PQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116160

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Блинков А.Д.

AD и BE — высоты треугольника ABC. Оказалось, что точка C', симметричная вершине C относительно середины отрезка DE, лежит на стороне AB. Докажите, что AB – касательная к окружности, описанной около треугольника DEC'.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64718

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Бакаев Е.В.

На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: A₁, A₂, ..., A₁₀, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках A₁, A₂, ..., A₉, а десятый сидит на дуге A₉A₁₀A₁. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке A₁₀?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 159]