Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём a ≥ b ≥ c; x, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
а) Доказать, что из трёх положительных чисел всегда можно выбрать такие два
числа x и y, что 0 ≤ ≤ 1.
б) Верно ли, что указанные два числа можно выбрать из любых четырёх чисел?
Дана функция , где трёхчлены x² + ax + b и x² + cx + d не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
2) f(x) представима в виде: f(x) = f1(f2(...fn–1(fn(x))...)), где каждая из функций fi(x) есть функция одного из видов:
kix + bi, x–1, x².
Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее "Спортпрогноз"? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча – победа одной из команд либо ничья; счёт роли не играет).
Отличник Поликарп купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Двоечник Колька вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. В ответе у Кольки получилось 2002. Не ошибся ли он?
По кругу написано семь натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа, сумма которых чётна.
Каждую клетку квадратной таблицы 2×2 можно покрасить в чёрный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?
Найти количество нечётных чисел в n-й строке треугольника Паскаля.
В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Найдите наибольшее значение выражения
При каких значениях n все коэффициенты в разложении бинома Ньютона (a + b)n нечётны?
Многоугольник, описанный около окружности радиуса r,
разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма
радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.
Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 126]
Задача 66511 |
|
|
Вокруг круглого озера через равные промежутки растут 2019 деревьев: 1009 сосен и 1010 ёлок. Докажите, что обязательно найдется дерево, рядом с которым растёт сосна и с другой стороны от которого через одно дерево тоже растёт сосна.
|
|
Решение |
Задача 115384 |
|
|
Легко разместить комплект кораблей для игры
в "Морской бой" на доске 10× 10 (см. рис.). А на какой
наименьшей квадратной доске можно разместить этот комплект?
(Напомним, что согласно правилам корабли не должны соприкасаться даже
углами.)
|
|
|
Решение |
Задача 79292 |
|
|
Шарообразная планета окружена 37-ю точечными астероидами. Доказать, что в любой момент на поверхности планеты найдётся точка, из которой астроном не сможет наблюдать более 17 астероидов.
Примечание. Астероид, расположенный на линии горизонта, не виден.
|
|
|
Решение |
Задача 98267 |
|
|
На координатной плоскости отмечены некоторые точки с целыми координатами. Известно, что никакие четыре из них не лежат на одной окружности. Докажите, что найдётся круг радиуса 1995, в котором не отмечено ни одной точки.
|
|
|
Решение |
Задача 109937 |
|
|
Имеется таблица n×n, в n – 1 клетках которой записаны единицы, а в остальных клетках – нули. С таблицей разрешается проделывать следующую операцию: выбрать клетку, вычесть из числа, стоящего в этой клетке, единицу, а ко всем остальным числам, стоящим в одной строке или в одном столбце с выбранной клеткой, прибавить единицу. Можно ли из этой таблицы с помощью указанных операций получить таблицу, в которой все числа равны?
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 126]
