У кассира было 30 монет: 10, 15 и 20 копеек на сумму 5 рублей. Докажите, что 20-копеечных монет у него было больше, чем 10-копеечных.

   Решение

Можно ли расставить по кругу семь целых неотрицательных чисел так, чтобы сумма каких-то трёх расположенных подряд чисел была равна 1, каких-то трёх подряд расположенных – 2, ... , каких-то трёх подряд расположенных – 7?

   Решение

Докажите, что  a²pq + b²qr + c²rp ≤ 0,  если a, b, c – стороны треугольника; а p, q, r – любые числа, удовлетворяющие условию  p + q + r = 0.

   Решение

Докажите, что для любого многочлена P(x) степени m существует единственный многочлен Q(x) степени  m + 1 , для которого  ΔQ(x) = P(x)  и  Q(0) = 0.

   Решение

Восстановите  а) треугольник;  б) пятиугольник по серединам его сторон.

   Решение

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

   Решение

Школьник хочет вырезать из квадрата размером 2n×2n наибольшее количество прямоугольников размером 1×(n + 1). Найти это количество для каждого натурального значения n.

   Решение

В трапеции ABCD даны основания  AD = 12  и  BC = 8.  На продолжении стороны BC выбрана такая точка M, что  CM = 2,4.
В каком отношении прямая AM делит площадь трапеции ABCD?

   Решение

Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из вершины D параллелограмма ABCD на диагональ AC. Докажите, что перпендикуляры к прямым AB и BC, проведённые через точки A и C соответственно, пересекутся на прямой DM.

   Решение

Решите уравнение  2 sin ^πx/₂ – 2 cos πx = x⁵ + 10x – 54.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 462]      

На сторонах AB и AC треугольника ABC , площадь которого равна 50, взяты соответственно точки M и K так, что AM:MB = 1:5 , а AK:KC = 3:2 . Найдите площадь треугольника AMK .

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если диагональ какого-нибудь четырёхугольника делит другую диагональ пополам, то она делит пополам и площадь четырёхугольника.

Прислать комментарий

Решение

Середина одной из диагоналей выпуклого четырёхугольника соединена с концами другой диагонали. Докажите, что полученная ломаная делит четырёхугольник на две равновеликие части.

Прислать комментарий

Решение

Как в треугольнике ABC провести ломаную BDEFG (см. рисунок), чтобы все пять полученных треугольников имели одинаковые площади?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 462]