Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 70]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Отображение $f$ ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия:
– Если произвольное подобие $\sigma$ переводит треугольник $\Delta_1$ в $\Delta_2$, то $\sigma$ переводит окружность $f(\Delta_1)$ в $f(\Delta_2)$.
– Для любых четырех точек общего положения $A$, $B$, $C$, $D$ окружности $f(ABC)$, $f(BCD)$, $f(CDA)$ и $f(DAB)$ имеют общую точку.
Докажите, что для любого треугольника $\Delta$ окружность $f(\Delta)$ совпадает с окружностью девяти точек треугольника $\Delta$ .
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Точка $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Прямые, проходящие через точку $A$ параллельно $BI$, $CI$ пересекают серединный перпендикуляр к $AI$ в точках $S$, $T$ соответственно. Прямые $BT$ и $CS$ пересекаются в точке $Y$, а точка $A^*$ такова, что $BICA^*$ параллелограмм. Докажите, что середина отрезка $YA^*$ лежит на вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
Высоты треугольника
ABC пересекаются в точке
H.
а) Докажите, что треугольники
ABC,
HBC,
AHC и
ABH имеют общую
окружность девяти точек.
б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников
ABC,
HBC,
AHC и
ABH
пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что центры описанных окружностей
треугольников
ABC,
HBC,
AHC и
ABH образуют четырехугольник,
симметричный четырехугольнику
HABC.
Докажите, что прямая Эйлера треугольника
ABC
параллельна стороне
BC тогда и только тогда, когда
tgBtgC = 3.
Докажите, что отрезок, высекаемый на стороне
AB
остроугольного треугольника
ABC окружностью девяти точек, виден из ее
центра под углом
2|
A -
B|.
Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 70]
Фильтр
Решение 
