Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Точки M и K лежат на сторонах соответственно AB и BC треугольника ABC, отрезки AK и CM пересекаются в точке P. Известно, что каждый из отрезков AK и CM делится точкой P в отношении  2 : 1,  считая от вершины. Докажите, что AK и CM – медианы треугольника.

Вниз   Решение


В треугольнике ABC основание высоты CD лежит на стороне AB, медиана AE равна 5, высота CD равна 6.
Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника ADC в три раза больше площади треугольника BCD.

ВверхВниз   Решение


В треугольник ABC со стороной BC, равной 11, вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке D. Известно, что AC = CD и косинус угла BAC равен $ {\frac{1}{6}}$. Найдите AC.

ВверхВниз   Решение


Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются. Найдите высоту цилиндра, содержащего эти сферы так, что три из них касаются одного основания и боковой поверхности, а четвёртая – другого основания цилиндра.

ВверхВниз   Решение


Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99, в десятичной записи которого участвуют только чётные цифры.

ВверхВниз   Решение


Даны 10 чисел – одна единица и 9 нулей. Разрешается выбирать два числа и заменять каждое из них их средним арифметическим.
Какое наименьшее число может оказаться на месте единицы?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 1224]      



Задача 65574

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Сумма нескольких положительных чисел равна 10, а сумма квадратов этих чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов этих чисел больше 40.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65590

Темы:   [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Петя записал несколько алгебраических выражений, возвёл каждое из них в квадрат и сложил результаты.
Могло ли у него в итоге получиться выражение  x² + y² + z² + 3y + 4x + xz + 1?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65616

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Изначально на экране компьютера – какое-то простое число. Каждую секунду число на экране заменяется на число, полученное из предыдущего прибавлением его последней цифры, увеличенной на 1. Через какое наибольшее время на экране возникнет составное число?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65662

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Шагреневая кожа исполняет желания, но после каждого желания её площадь уменьшается: либо на 1 дм² в обычном случае, либо в два раза – если желание было заветное. Десять желаний уменьшили площадь кожи втрое, следующие несколько – еще всемеро, а еще через несколько желаний кожа вообще пропала. Какова первоначальная площадь кожи?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65741

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Жуков Г.

У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера a×b дать либо ковёр размера 1/a×1/b, либо два ковра размеров c×b и  a/c×b  (при каждом таком обмене число c клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая – короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента меняла готов ковёр размера a×b считать ковром размера b×a.)

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 1224]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .