Двое играют в следующую игру. Есть кучка камней. Первый каждым своим ходом берет 1 или 10 камней. Второй каждым своим ходом берёт m или n камней. Ходят по очереди, начинает первый. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Известно, что при любом начальном количестве камней первый всегда может играть так, чтобы выиграть (при любой игре второго). Какими могут быть m и n?

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 146]      

Через середину ребра AB куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным a, проведена плоскость, параллельная прямым BD₁ и A₁C₁.

1) В каком отношении эта плоскость делит диагональ DB₁?

2) Найдите площадь полученного сечения.

Прислать комментарий

Решение

Петя может располагать три отрезка в пространстве произвольным образом. После того как Петя расположит эти отрезки, Андрей пытается найти плоскость и спроектировать на нее отрезки так, чтобы проекции всех трех были равны. Всегда ли ему удастся это сделать, если:
а) три отрезка имеют равные длины?
б) длины двух отрезков равны между собой и не равны длине третьего?

Прислать комментарий

Решение

Известно, что ортогональные проекции некоторого тела на две непараллельные плоскости являются кругами. Докажите, что эти круги равны.

Прислать комментарий

Решение

Прямоугольная проекция треугольной пирамиды на некоторую плоскость имеет максимально возможную площадь.
Докажите, что эта плоскость параллельна либо одной из граней, либо двум скрещивающимся ребрам пирамиды.

Прислать комментарий

Решение

Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1.
  а) Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
  б) А квадрат площади ¹/₂₀₁₉?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 146]