Страница:
<< 31 32 33 34
35 36 37 >> [Всего задач: 201]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".
Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести
окружность так, чтобы три проведённые окружности имели в точках пересечения
взаимно перпендикулярные касательные.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Функция
f (
x) при каждом значении
x ∈ (− ∞, + ∞) удовлетворяет равенству
f(
x) + (
x + ½)
f(1 −
x) = 1.
а) Найдите
f(0) и
f(1).
б) Найдите все такие функции
f(
x).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Натуральное число n таково, что 3n + 1 и 10n + 1 являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число 29n + 11 – составное.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть lA, lB, lC и lD – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть lP и lQ – внешние биссектрисы углов соответственно APD и AQB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через MAC точку пересечения lA и lC, через MBD – lB и lD, через MPQ – lP и lQ. Докажите, что, если все три точки MAC, MBD и MPQ существуют, то они лежат на одной прямой.
Страница:
<< 31 32 33 34
35 36 37 >> [Всего задач: 201]
Фильтр
