Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите наименьшее значение функции y = 9 cos x+14x+7 на отрезке [0;] .

   Решение

---

Найдите наименьшее значение функции y = 5 cos x+6x+6 на отрезке [0;] .

   Решение

---

Найдите наименьшее значение функции y = 8 cos x+10x+8 на отрезке [0;] .

   Решение

---

Натуральные числа от 1 до n расставляются в ряд в произвольном порядке. Расстановка называется плохой, если в ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих в порядке убывания. Остальные расстановки называются хорошими. Докажите, что количество хороших расстановок не превосходит 81ⁿ.

   Решение

---

Найдите наименьшее значение функции y = 2 cos x+13x+5 на отрезке [0;] .

   Решение

---

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через вершину C и середину стороны B1C1 основания A1B1C1 и параллельной диагонали AC1 боковой грани AA1C1C , если расстояние между прямой AC1 и секущей плоскостью равно 1, а сторона основания призмы равна .

   Решение

---

У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?

   Решение

---

Каждое из рёбер треугольной пирамиды ABCD равно 1. Точка E на ребре AB , точка F на ребре BC и точка G на ребре CD взяты так, что AE= , BF= и CG= . Плоскость EFG пересекает прямую AD в точке H . Найдите периметр треугольника HEG .

   Решение

---

Найдите наименьшее значение функции y = 5 cos x+6x+7 на отрезке [0;] .

   Решение

---

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC ( B = 90^o , AB=BC=10 ); AA1=BB1=CC1=12 . Точка M – середина бокового ребра AA1 . Через точки M и B1 проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45^o и пересекающая ребро CC1 в точке E . Найдите CE .

   Решение

---

Дана бесконечная последовательность чисел  a₁, a₂, a₃, ...  Известно, что для любого номера k можно указать такое натуральное число t, что
a_k = a_k+t = a_k+2t = ...  Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное T, что  a_k = a_k+T  при любом натуральном k?

   Решение

---

Через середину высоты правильной четырёхугольной пирамиды проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро равно 4, а угол между боковыми рёбрами, лежащими в одной грани, равен .

   Решение

---

Существует ли такая бесконечная периодическая последовательность, состоящая из букв a и b, что при одновременной замене всех букв a на aba и букв b на bba она переходит в себя (возможно, со сдвигом)?

   Решение

---

Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
  а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части?
  б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)

   Решение

---

Для какого наибольшего n можно придумать две бесконечные в обе стороны последовательности A и B такие, что любой кусок последовательности B длиной n содержится в A, A имеет период 1995, а B этим свойством не обладает (непериодична или имеет период другой длины)?

Комментарий. Последовательности могут состоять из произвольных символов. Речь идет о минимальном периоде.

   Решение

---

Дана последовательность {x_k} такая, что x₁=1 , x_n+1=n sin x_n+1 . Докажите, что последовательность непериодична.

   Решение

---

Точка M принадлежит ребру AA1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , причём AM:MA1 = 1:2 . Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M и середину K ребра BC параллельно прямой B1D1 . В каком отношении эта плоскость делит диагональ BD1 параллелепипеда?

   Решение

---

Каждое из рёбер треугольной пирамиды ABCD равно 1. Точка P на ребре AB , точка Q на ребре BC и точка R на ребре CD взяты так, что AP= , BQ= и CR= . Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S . Найдите угол между прямыми SQ и RQ .

   Решение

---

Каждое из рёбер треугольной пирамиды ABCD равно 1. Точка E на ребре AB , точка F на ребре BC и точка G на ребре CD взяты так, что AE= , BF= и CG= . Плоскость EFG пересекает прямую AD в точке H . Найдите периметр треугольника HFG .

   Решение

---

Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченном ею многоугольнике общая площадь чёрных частей равна общей площади белых частей.

   Решение

---

Закрасьте в квадрате 9×9 несколько клеток так, чтобы из центра квадрата не были видны его стороны (то есть любой луч, выходящий из центра, задевал какую-нибудь закрашенную клетку хотя бы по углу). Нельзя закрашивать клетки, соседние по стороне или углу, а также центральную клетку.

   Решение

---

Найдите сумму величин углов MAN, MBN, MCN, MDN и MEN, нарисованных на клетчатой бумаге так, как показано на рисунке 1.

Рис. 1

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 140]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116542

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченном ею многоугольнике общая площадь чёрных частей равна общей площади белых частей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107810

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В клетчатом квадрате 10×10 отмечены центры всех единичных квадратиков (всего 100 точек). Какое наименьшее число прямых, не параллельных сторонам квадрата,

нужно провести, чтобы вычеркнуть все отмеченные точки?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111320

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Автостоянка в Цветочном городе представляет собой квадрат 7x 7 клеточек, в каждой из которых можно поставить машину. Стоянка обнесена забором, одна из сторон угловой клетки удалена (это ворота). Машина ездит по дорожке шириной в клетку. Незнайку попросили разместить как можно больше машин на стоянке таким образом, чтобы любая могла выехать, когда прочие стоят. Незнайка расставил 24 машины так, как показано на рис.. Попытайтесь расставить машины по-другому, чтобы их поместилось больше.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107799

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ ГМТ с ненулевой площадью ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В узлах клетчатой бумаги живут садовники, а вокруг них повсюду растут цветы. За каждым цветком должны ухаживать 3 ближайших к нему садовника. Один из садовников хочет узнать, за каким участком он должен ухаживать. Нарисуйте этот участок.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79561

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Раскраски ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8,9

Можно ли расставить на листе клетчатой бумаги крестики и нолики так, чтобы ни на одной горизонтали, вертикали и диагонали нельзя было встретить три одинаковых знака подряд?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 140]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями