Каталог по темам

Задачи

Страница: << 192 193 194 195 196 197 198 >> [Всего задач: 1007]

Задача 116952

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

Три попарно непересекающиеся окружности ω_x, ω_y, ω_z радиусов r_x, r_y, r_z лежат по одну сторону от прямой t и касаются её в точках X, Y, Z соответственно. Известно, что Y – середина отрезка XZ, r_x = r_z = r, а r_y > r. Пусть p – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_x и ω_y, а q – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_y и ω_z. В пересечении прямых p, q, t образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус его вписанной окружности равен r.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64803

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Tran Quang Hung

Пусть M – середина хорды AB окружности с центром O. Точка K симметрична M относительно O, P – произвольная точка окружности. Перпендикуляр к AB в точке A и перпендикуляр к PK в точке P пересекаются в точке Q. Точка H – проекция P на AB. Докажите, что прямая QB делит отрезок PH пополам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108146

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Сонкин М.

На медиане CD треугольника ABC отмечена точка E. Окружность S₁, проходящая через точку E и касающаяся прямой AB в точке A, пересекает сторону AC в точке M. Окружность S₂, проходящая через точку E и касающаяся прямой AB в точке B, пересекает сторону BC в точке N. Докажите, что описанная окружность треугольника CMN касается окружностей S₁ и S₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108641

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC, D – середина стороны AC. Прямая, проходящая через точку H перпендикулярно отрезку DH, пересекает стороны AB и BC в точках E и F. Докажите, что HE = HF.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109601

Темы:	[	Высота пирамиды (тетраэдра)	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Сферы (прочее)	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Терешин Д.А.

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1, считая от вершин, лежат на одной сфере.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 192 193 194 195 196 197 198 >> [Всего задач: 1007]