Диагонали трапеции равны 6 и 8, а средняя линия равна 5. Найдите площадь трапеции.

   Решение

Известно, что     где  x > 0,  y > 0,  z > 0.  Докажите, что  

   Решение

Плоскость пересекает ребра AB, AC, DC и DB тетраэдра ABCD в точках M, N, P и Q соответственно, причем AM : MB = m, AN : NC = n, DP : PC = p. Найдите отношение BQ/QD.

   Решение

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, касается его сторон BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Пусть B₁H – высота треугольника A₁B₁C₁. Докажите, что точка H лежит на биссектрисе угла CAB.

   Решение

Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке  

   Решение

Длины сторон остроугольного треугольника – последовательные целые числа.
Докажите, что высота, опущенная на среднюю по величине сторону, делит её на отрезки, разность длин которых равна 4.

   Решение

Дан отрезок AB и прямая MN, пересекающая его. Построить треугольник ABC так, чтобы прямая MN делила его угол пополам.

   Решение

Имеется 1959 положительных чисел a₁, a₂..., a₁₉₅₉, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.

   Решение

Для всех действительных x и y выполняется равенство  f(x² + y) = f(x) + f(y²).  Найдите  f(–1).

   Решение

Решите уравнения
  а)  x³ – 3x – 1 = 0;
  б)  x³ – 3x – = 0.
Укажите в явном виде все корни этих уравнений.

   Решение

Дан остроугольный равнобедренный треугольник ABC ( AB=BC ); E – точка пересечения перпендикуляра к стороне BC , восставленного в точке B , и перпендикуляра к основанию AC , восставленного в точке C ; D – точка пересечения перпендикуляра к стороне AB , восставленного в точке A , с продолжением стороны BC . На продолжении основания AC за точку C отметили точку F , для которой CF=AD . Докажите, что EF=ED .

   Решение

Опишите явный вид многочлена  f(x) = f₁(x) + f₂(x) + ... + f_n(x),  где  f_i(x) – многочлены из задачи 61050.

   Решение

Таблица 10×10 заполняется по правилам игры "Сапёр": в некоторые клетки ставят по мине, а в каждую из остальных клеток записывают количество мин в клетках, соседних с данной клеткой (по стороне или вершине). Может ли увеличиться сумма всех чисел в таблице, если все "старые" мины убрать, во все ранее свободные от мин клетки поставить мины, после чего заново записать числа по правилам?

   Решение

Даны два массива x[1]≤...≤x[k] и  y[1]≤...≤y[l] и число q. Найти сумму вида x[i] + y[j], наиболее близкую к числу q. (Число действий порядка k+l, дополнительная память — фиксированное число целых переменных, сами массивы менять не разрешается.)

   Решение

Дан треугольник ABC. Найти такую точку, что если её симметрично отразить от любой стороны треугольника, то она попадает на описанную окружность.

   Решение

Последовательность натуральных чисел {x_n} строится по следующему правилу:  x₁ = 2,  ...,  x_n = [1,5x_n–1].
Доказать, что последовательность  y_n = (–1)^x_n  непериодическая.

   Решение

В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовал хотя бы один школьник этого класса.
Докажите, что найдётся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников принял участие по меньшей мере в ¹/₂₀ всех экскурсий.

   Решение

Даны точки M(2;-5;0) , N(3;0;4) , K(-2;2;0) . Составьте уравнение плоскости MNK .

   Решение

Два бегуна стартовали одновременно из одной точки. Сначала они бежали по улице до стадиона, а потом до финиша – три круга по стадиону. Всю дистанцию оба бежали с постоянными скоростями, и в ходе забега первый бегун дважды обогнал второго. Докажите, что первый бежал по крайней мере вдвое быстрее, чем второй.

   Решение

Два круга, расстояние между центрами которых равно + 1, имеют радиусы и 2. Найдите отношение площади круга, вписанного в общую часть данных кругов, к площади общей части.

   Решение

Даны точки M(2;-5;0) , N(3;0;4) , K(-2;2;0) и L(3;2;1) . Найдите острый угол между плоскостями MNK и NKL .

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC из точки E , расположенной в середине катета BC , опущен перпендикуляр EL на гипотенузу AB . Найдите углы треугольника ABC , если AE = · EL и BC > AC .

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 542]      

Длины сторон остроугольного треугольника – последовательные целые числа.
Докажите, что высота, опущенная на среднюю по величине сторону, делит её на отрезки, разность длин которых равна 4.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольном треугольнике ABC из точки E , расположенной в середине катета BC , опущен перпендикуляр EL на гипотенузу AB . Найдите углы треугольника ABC , если AE = · EL и BC > AC .

Прислать комментарий

Решение

Дан остроугольный равнобедренный треугольник ABC ( AB=BC ); E – точка пересечения перпендикуляра к стороне BC , восставленного в точке B , и перпендикуляра к основанию AC , восставленного в точке C ; D – точка пересечения перпендикуляра к стороне AB , восставленного в точке A , с продолжением стороны BC . На продолжении основания AC за точку C отметили точку F , для которой CF=AD . Докажите, что EF=ED .

Прислать комментарий

Решение

Окружность с центром на стороне AC равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC)  касается сторон AB и BC.
Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 25, а отношение высоты BD к стороне AC равно  3 : 8.

Прислать комментарий

Решение

С центром в вершине D квадрата ABCD построена окружность, проходящая через вершины A и C . Через середину M стороны AB проведена касательная к этой окружности, пересекающая сторону BC в точке K . Найдите отношение BK:KC .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 542]