Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик, но на 20% меньше, чем Вася.
На сколько процентов больше Алика собрал грибов Вася?

Вниз   Решение


После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть.
На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?

ВверхВниз   Решение


Имеется много одинаковых прямоугольных картонок размером a×b см, где a и b – целые числа, причём  a < b.  Известно, что из таких картонок можно сложить и прямоугольник 49×51 см, и прямоугольник 99×101 см. Можно ли по этим данным однозначно определить a и b?

ВверхВниз   Решение


Через точку C на окружности проведены касательная, а также хорда BC и хорда DC, BD = c. Расстояния от точек B и D до касательной равны b и d. Найдите площадь треугольника BCD.

ВверхВниз   Решение


В трапеции KLMN известно, что LM$ \Vert$KN, $ \angle$KLM = $ {\frac{\pi}{2}}$, LM = l, KN = k, MN = a. Окружность проходит через точки M и N и касается прямой KL в точке A. Найдите площадь треугольника AMN.

ВверхВниз   Решение


Две окружности σ1 и σ2 пересекаются в точках A и B . Пусть PQ и RS – отрезки общих внешних касательных к этим окружностям (точки P и R лежат на σ1 , точки Q и S – на σ2 ). Оказалось, что RB|| PQ . Луч RB вторично пересекает σ2 в точке W . Найдите отношение RB/BW .

ВверхВниз   Решение


Углы треугольника ABC удовлетворяют равенству

cos2A + cos2B + cos2C = 1.

Найдите площадь этого треугольника, если радиусы вписанной и описанной окружностей равны $ \sqrt{3}$ и 3$ \sqrt{2}$ соответственно.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 213]      



Задача 108479

Темы:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Углы треугольника ABC удовлетворяют равенству

cos2A + cos2B + cos2C = 1.

Найдите площадь этого треугольника, если радиусы вписанной и описанной окружностей равны $ \sqrt{3}$ и 3$ \sqrt{2}$ соответственно.

Прислать комментарий     Решение


Задача 67371

Темы:   [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается его сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Вневписанная окружность с центром $J$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_2$ и $A_2$ соответственно. Пусть прямые $IB_2$ и $JB_1$ пересекаются в точке $X$, прямые $IC_2$ и $JC_1$ – в точке $Y$, прямые $IA_2$ и $JA_1$ – в точке $Z$. Докажите, что если одна из точек $X$, $Y$, $Z$ лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.
Прислать комментарий     Решение


Задача 52923

Темы:   [ Формула Эйлера ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Теорема синусов ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение радиуса вписанной окружности к расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей равно равно m. Найдите углы треугольника.

Прислать комментарий     Решение


Задача 57609

Тема:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что  a(b + c) = (r + ra)(4R + r - ra) и  a(b - c) = (rb - rc)(4R - rb - rc).
Прислать комментарий     Решение


Задача 57610

Тема:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
Сложность: 5
Классы: 9

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что  $ {\frac{OA^2}{bc}}$ + $ {\frac{OB^2}{ac}}$ + $ {\frac{OC^2}{ab}}$ = 1.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 213]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .