Вокруг остроугольного треугольника ABC описана окружность. Продолжения высот треугольника, проведённых из вершин A и C, пересекают окружность в точках E и F соответственно, D произвольная точка на (меньшей) дуге AC, K – точка пересечения DF и AB, L – точка пересечения DE и BC. Докажите, что прямая KL проходит через ортоцентр треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 499]      

В трапеции KLMN известно, что  LM || KN,  ∠LMN = 90°. Прямая, перпендикулярная стороне KL, пересекает сторону KL в точке A, а сторону MN – в точке B. Известно также, что  KB = a,  AN = b,  а расстояние от точки L до прямой KB равно c. Найдите расстояние от точки M до прямой AN.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q (P – на прямой BM, Q – на прямой BN). Докажите, что отрезки MP и NQ равны.

Прислать комментарий

Решение

Окружность Ω₁ проходит через центр окружности Ω₂. Из точки C, лежащей на Ω₁, проведены касательные к Ω₂, вторично пересекающие Ω₁ в точках A и B. Докажите, что отрезок AB перпендикулярен линии центров окружностей.

Прислать комментарий

Решение

Вокруг остроугольного треугольника ABC описана окружность. Продолжения высот треугольника, проведённых из вершин A и C, пересекают окружность в точках E и F соответственно, D произвольная точка на (меньшей) дуге AC, K – точка пересечения DF и AB, L – точка пересечения DE и BC. Докажите, что прямая KL проходит через ортоцентр треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Из точки M окружности, описанной около прямоугольника ABCD, опустили перпендикуляры MQ и MP на две его противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 499]