Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]
На плоскости проведено n прямых. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите все n, при которых это возможно.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10,11
|
Плоскость разбита на части несколькими прямыми, среди которых есть непараллельные. Те части, граница которых состоит из двух лучей, закрасили. После этого проведена ещё одна прямая. Докажите, что, независимо от положения новой прямой, по обе стороны от неё найдутся закрашенные точки.
Пример расположения прямых (без последней прямой) изображен на рисунке.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Попав в новую компанию, Чичиков узнавал, кто с кем знаком. А чтобы запомнить это, он рисовал окружность и изображал каждого члена компании хордой, причём хорды знакомых между собой пересекались, а незнакомых – нет. Чичиков уверен, что такой набор хорд есть для любой компании. Прав ли он? (Совпадение концов хорд считается пересечением.)
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
На прямой расположены
2
k-1
белый и
2
k-1
черный отрезок.
Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с
k черными, а
любой черный – хотя бы с
k белыми. Докажите, что найдутся черный
отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со
всеми черными.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
|
На прямой имеется
2
n+1
отрезок. Любой отрезок пересекается по крайней мере с
n другими. Докажите, что существует отрезок, пересекающийся со всеми
остальными.
Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]
Фильтр
Решение
