Каталог по темам

Выбрано 9 задач

Пусть x₁, x₂, ..., x_n – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0, 1].
Докажите, что на этом отрезке найдется такое число x, что ¹/_n (|x – x₁| + |x – x₂| + ... + |x – x_n|) = ½.

Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Восстановите прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°) по вершинам A, C и точке на биссектрисе угла B .

Решение

Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке

Решение

Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами отрезков AA₁, BB₁ и CC₁, пересекаются в одной точке.

Решение

На плоскости даны точки A₁ , A₂ , A_n и точки B₁ , B₂ , B_n . Докажите, что точки B_i можно перенумеровать так, что для всех i j угол между векторами и – острый или прямой.

Решение

Метод Ньютона. Для приближенного нахождения корней уравнения f (x) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле

x_{n + 1} = x_n - $\displaystyle {\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}$ ,

(начальное условие x₀ следует выбирать поближе к искомому корню).
Докажите, что для функции f (x) = x² - k и начального условия x₀ > 0 итерационный процесс всегда будет сходиться к $\sqrt{k}$ , то есть $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ x_n = $\sqrt{k}$ .
Как будет выражаться x_{n + 1} через x_n? Сравните результат с формулой из задачи 9.48.

Решение

На какие натуральные числа можно сократить дробь , если известно, что она сократима и что числа m и n взаимно просты.

Решение

Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна 4, угол между боковыми рёбрами пирамиды равен arccos . Точки A1 и C1 – середины рёбер AD и CD соответственно, CB1 – высота в треугольнике BCD . Найдите: 1) угол между прямыми AC и B1C1 ; 2) площадь треугольника A1B1C1 ; 3) расстояние от точки A до плоскости A1B1C1 ; 4) радиус вписанного в пирамиду A1B1C1D шара.

Решение

На клетчатой бумаге отмечены четыре узла сетки, образующие квадрат 4*4. Отметьте ещё два узла и соедините их замкнутой ломаной так, чтобы получился шестиугольник (не обязательно выпуклый) площади 6 клеток.

Решение

Задача 105074

Задача 109018

Задача 109431

Задача 111899

Задача 115274