Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений  ax11 + bx4 + c = 0,  bx11 + cx4 + a = 0,  cx11 + ax4 + b = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

Вниз   Решение


На плоскости задано n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника,  n > 3.  Известно, что существует ровно k равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.
  а) Докажите, что  k < 2n/3.
  б) Приведите пример конфигурации, для которой  k > 0,666n.

ВверхВниз   Решение


На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

ВверхВниз   Решение


Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω1 и ω2, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω1 и ω2, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω1 и ω2.

ВверхВниз   Решение


Прямоугольный лист бумаги согнули, совместив вершину с серединой противоположной короткой стороны (см. рис.). Оказалось, что треугольники I и II равны. Найдите длинную сторону прямоугольника, если короткая равна 8.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что при всех x, 0<x<π/3, справедливо неравенство sin2x+cosx>1.

ВверхВниз   Решение


Постройте треугольник, если даны центр вписанной в него окружности, середина одной из сторон и основание опущенной на эту сторону высоты.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC. Tочки A1, B1 и C1 симметричны его вершинам относительно противоположных сторон. C2 – точка пересечения прямых AB1 и BA1, точки A2 и B2 определяются аналогично. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 параллельны.

ВверхВниз   Решение


Диагонали трёх различных граней прямоугольного параллелепипеда равны m , n и p . Найдите диагональ параллелепипеда.

ВверхВниз   Решение


Внутри квадрата со стороной 1 расположены несколько кругов, сумма радиусов которых равна 0,51. Доказать, что найдется прямая, которая параллельна одной из сторон квадрата и пересекает, по крайней мере, 2 круга.

ВверхВниз   Решение


Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого  P(x) + P(1 – x) ≡ 1.

ВверхВниз   Решение


Что больше:     или   ?

ВверхВниз   Решение


Пусть α и β – острые углы такие, что sin2α + sin2β < 1 . Докажите, что sin2α + sin2β < sin2(α + β) .

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]      



Задача 78485

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Обратные тригонометрические функции ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Положительные числа x, y, z обладают тем свойством, что

arctg x + arctg y + arctg z < $\displaystyle \pi$.

Доказать, что сумма этих чисел больше их произведения.
Прислать комментарий     Решение

Задача 109453

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть α и β – острые углы такие, что sin2α + sin2β < 1 . Докажите, что sin2α + sin2β < sin2(α + β) .
Прислать комментарий     Решение


Задача 109711

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Храбров А.

Докажите неравенство   sinn2x + (sinnx – cosnx)² ≤ 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110210

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что для каждого x такого, что sin x 0 , найдется такое натуральное n , что | sin nx| .
Прислать комментарий     Решение


Задача 115406

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Тригонометрический круг ]
[ Количество и сумма делителей числа ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Трушин Б.

Сколько раз функция   f(x) = cos x cos x/2 cos x/3 ... cos x/2009   меняет знак на отрезке  [0, 2009π/2] ?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .