Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум данным сторонам, если известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом.
На плоскости задано n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника, n > 3. Известно, что существует ровно k равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.
а) Докажите, что k < 2n/3.
б) Приведите пример конфигурации, для которой k > 0,666n.
Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω1 и ω2, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω1 и ω2, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω1 и ω2.
На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?
Прямоугольный лист бумаги согнули, совместив вершину с серединой противоположной короткой стороны (см. рис.). Оказалось, что треугольники I и II равны. Найдите длинную сторону прямоугольника, если короткая равна 8.
Докажите, что при всех x, 0<x<π/3, справедливо неравенство sin2x+cosx>1.
Постройте треугольник, если даны центр вписанной в него окружности, середина одной из сторон и основание опущенной на эту сторону высоты.
Диагонали трёх различных граней прямоугольного параллелепипеда равны m , n и p . Найдите диагональ параллелепипеда.
Дан треугольник ABC. Tочки A1, B1 и C1 симметричны его вершинам относительно противоположных сторон. C2 – точка пересечения прямых AB1 и BA1, точки A2 и B2 определяются аналогично. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 параллельны.
Внутри квадрата со стороной 1 расположены несколько кругов, сумма радиусов которых равна 0,51. Доказать, что найдется прямая, которая параллельна одной из сторон квадрата и пересекает, по крайней мере, 2 круга.
Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого P(x) + P(1 – x) ≡ 1.
Что больше: или
?
Пусть α и β – острые углы такие, что sin2α + sin2β < 1 . Докажите, что sin2α + sin2β < sin2(α + β) .
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]
Задача 78485 |
|
|
Положительные числа x, y, z обладают тем свойством, что
|
|
Решение |
Задача 109453 |
|
|
Пусть α и β – острые углы такие, что sin2α + sin2β < 1 . Докажите, что sin2α + sin2β < sin2(α + β) .
|
|
Решение |
Задача 109711 |
|
|
Докажите неравенство sinn2x + (sinnx – cosnx)² ≤ 1.
|
|
|
Решение |
Задача 110210 |
|
|
Докажите, что для каждого x такого, что sin x 0 , найдется такое
натуральное n , что | sin nx|
.
|
|
|
Решение |
Задача 115406 |
|
|
Сколько раз функция f(x) = cos x cos x/2 cos x/3 ... cos x/2009 меняет знак на отрезке [0, 2009π/2] ?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]
