Каталог по темам

Задачи

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 161]

Задача 109557

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Симметричная стратегия	]
	[	Шахматная раскраска	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Перлин А.

Игроки A и B по очереди ходят конем на шахматной доске 1994×1994. Игрок A может делать только горизонтальные ходы, то есть такие, при которых конь перемещается на соседнюю горизонталь. Игроку B разрешены только вертикальные ходы, при которых конь перемещается на соседнюю вертикаль. Игрок A ставит коня на поле, с которого начинается игра, и делает первый ход. При этом каждому игроку запрещено ставить коня на то поле, на котором он уже побывал в данной игре. Проигравшим считается игрок, которому некуда ходить. Докажите, что для игрока A существует выигрышная стратегия.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109644

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Шахматная раскраска	]
	[	Обход графов	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Ориентированные графы	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

В прямоугольную коробку с основанием m×n, где m и n – нечётные числа, уложены домино размера 2×1 так, что остался не покрыт только квадрат 1×1 (дырка) в углу коробки. Если доминошка прилегает к дырке короткой стороной, её разрешается сдвинуть вдоль себя на одну клетку, закрыв дырку (при этом открывается новая дырка). Докажите, что с помощью таких передвижений можно перегнать дырку в любой другой угол.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79564

Темы:	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Многогранные углы	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Шарыгин И.Ф.

На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.

Прислать комментарий Решение

Задача 73679

Темы:	[	Разрезания на параллелограммы	]
	[	Соизмеримость и несоизмеримость	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Автор: Колотов А.Т.

Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа a, b, α и β, чтобы прямоугольник размером a×b можно было разрезать на прямоугольники размером α×β. Например, можно ли прямоугольник размером 50×60 разрезать на прямоугольники размером
а) 20×15; б) 5×8; в) 6,25×15; г)

Прислать комментарий

Решение

Задача 109510

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Авторы: Августинович С., Фон-дер-Флаас Д.

Докажите, что существует такое натуральное число n , что если правильный треугольник со стороной n разбить прямыми, параллельными его сторонам, на n² правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать 1993n точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 161]