Каталог по темам

Задачи

Страница: << 160 161 162 163 164 165 166 >> [Всего задач: 1371]

Задача 105174

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5
Классы: 8

На шахматную доску произвольным образом уложили 32 доминошки (прямоугольника 1×2), так что доминошки не перекрываются. Затем к доске добавили одну клетку, как показано на рисунке. Разрешается вынимать любую доминошку, а затем класть её на две соседние пустые клетки.

Докажите, что можно расположить все доминошки горизонтально.

Прислать комментарий Решение

Задача 105196

Темы:	[	Равносоставленные фигуры	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Разрезания на параллелограммы	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

а) Показать, что любой треугольник можно разрезать на несколько частей, из которых можно сложить прямоугольник;
б) показать, что любой прямоугольник можно разрезать на несколько частей, из которых можно сложить квадрат;
в) верно ли, что любой многоугольник можно разрезать на несколько частей, из которых можно сложить квадрат?

Прислать комментарий Решение

Задача 109644

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Шахматная раскраска	]
	[	Обход графов	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Ориентированные графы	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

В прямоугольную коробку с основанием m×n, где m и n – нечётные числа, уложены домино размера 2×1 так, что остался не покрыт только квадрат 1×1 (дырка) в углу коробки. Если доминошка прилегает к дырке короткой стороной, её разрешается сдвинуть вдоль себя на одну клетку, закрыв дырку (при этом открывается новая дырка). Докажите, что с помощью таких передвижений можно перегнать дырку в любой другой угол.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109709

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Теорема Пика	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Дольников В.Л., Богданов И.И.

На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника A₁B₁C₁D₁E₁ (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109829

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Степень вершины	]
	[	Перестройки	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Авторы: Глебов А., Фон-дер-Флаас Д.

На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное число (0, 2 или 4) белых клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно окрасить в красный или зелёный цвет так, чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток, соседних с ней по стороне.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 160 161 162 163 164 165 166 >> [Всего задач: 1371]