Каталог по темам

Задачи

Страница: << 42 43 44 45 46 47 48 >> [Всего задач: 236]

Задача 109556

Темы:	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Признаки равенства прямоугольных треугольников	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Терешин Д.А.

Высоты AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ тетраэдра ABCD пересекаются в центре H сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁.
Докажите, что тетраэдр ABCD – правильный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65362

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Удвоение медианы	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

В треугольнике ABC AB = BC, ∠B = 20°. Точка M на основании AC такова, что AM : MC = 1 : 2, точка H – проекция C на BM. Найдите угол AHB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66216

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Заславский А.А.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Третья окружность касается их обеих и пересекает прямую AB в точках C и D.
Докажите, что касательные к ней в этих точках параллельны общим касательным к двум первым окружностям.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66274

Темы:	[	Построение треугольников по различным точкам	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Проективные преобразования плоскости	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Заславский А.А.

Постройте треугольник по вершине A, центру O описанной окружности и точке Лемуана L.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109841

Темы:	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Биссектрисы BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B₁C₁ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках M и N.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 42 43 44 45 46 47 48 >> [Всего задач: 236]