Версия для печати
Убрать все задачи

---

Bнутри треугольника ABC выбрана произвольная точка M. Докажите, что  MA + MB + MC ≤ max {AB + BC, BC + AC, AC + AB}.

   Решение

---

Уравнение  xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n = 0  с целыми ненулевыми коэффициентами имеет n различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа a_n–1 и a_n взаимно просты.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 81]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65123

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Коэффициенты a, b, c квадратного трёхчлена  f(x) = ax² + bx + c  – натуральные числа, сумма которых равна 2000. Паша может изменить любой коэффициент на 1, заплатив 1 рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более 1050 рублей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66152

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел a, b и c найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения a³, b³ и c³?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98149

Темы:   [ Тождественные преобразования ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Можно ли подобрать два многочлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами так, что  P – Q,  P и  P + Q  – квадраты некоторых многочленов (причём Q не получается умножением P на число)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98373

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Перемножаются все выражения вида     (при всевозможных комбинациях знаков).
Докажите, что результат   а) целое число,   б) квадрат целого числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110155

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Теорема Виета ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Уравнение  xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n = 0  с целыми ненулевыми коэффициентами имеет n различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа a_n–1 и a_n взаимно просты.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 81]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями