При каком наименьшем $n$ для любого набора $A$ из $2007$ множеств найдется такой набор $B$ из $n$ множеств, что каждое множество набора $A$ является пересечением двух различных множеств набора $B$?

   Решение

Расстояние от центра O шара радиуса 12, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, до бокового ребра равно 4 . Найдите: 1) высоту пирамиды; 2) расстояние от точки O до боковой грани пирамиды; 3) радиус вписанного в пирамиду шара.

   Решение

Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3.
Когда она доползет до цели, если стартовала улитка утром в понедельник?

   Решение

На стороне AC треугольника ABC отметили произвольную точку D. Точки E и F симметричны точке D относительно биссектрис углов A и C соответственно. Докажите, что середина отрезка EF лежит на прямой A₀C₀, где A₀ и C₀ – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC и AB соответственно.

   Решение

Четырехзначное число начинается с цифры 6. Эту цифру переставили в конец числа. Полученное число оказалось на 1152 меньше исходного. Найдите исходное число.

   Решение

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1.
Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке  [–2, 2].

   Решение

У Пети в кармане несколько монет. Если Петя наугад вытащит из кармана 3 монеты, среди них обязательно найдётся монета "1 рубль". Если Петя наугад вытащит 4 монеты из кармана, среди них обязательно найдётся монета "2 рубля". Петя вытащил из кармана 5 монет. Назовите эти монеты.

   Решение

Дан четырёхугольник ABCD. Оказалось, что описанная окружность треугольника ABC, касается стороны CD, а описанная окружность треугольника ACD касается стороны AB. Докажите, что диагональ AC меньше, чем расстояние между серединами сторон AB и CD.

   Решение

На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.

   Решение

Дан треугольник ABC, площадь которого равна 2. На медианах AK, BL и CN треугольника ABC взяты соответственно точки P, Q и R так, что AP : PK = 1, BQ : QL = 1 : 2, CR : RN = 5 : 4. Найдите площадь треугольника PQR.

   Решение

Точные квадраты. Доказать, что являются точными квадратами все числа вида 16; 1156; 111556 и т.д. (в середину предыдущего числа вставляется число 15).

   Решение

В трапеции ABCD стороны AD и BC параллельны, и  AB = BC = BD.  Высота BK пересекает диагональ AC в точке M. Найдите ∠CDM.

   Решение

Назовем число зеркальным, если справа налево оно читается так же, как слева направо. Например, число 78887 – зеркальное. Найдите все зеркальные пятизначные числа, в записи которых используются только цифры 1 и 0 .

   Решение

Расстояние от центра O шара радиуса 6 , описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, до боковой грани равно 3. Найдите: 1) высоту пирамиды; 2) расстояние от точки O до бокового ребра пирамиды; 3) радиус вписанного в пирамиду шара.

   Решение

Страница: << 94 95 96 97 98 99 100 >> [Всего задач: 540]      

В шар радиуса 4 вписана правильная шестиугольная пирамида с высотой 6, а в неё вписан второй шар. Найдите радиус второго шара.

Прислать комментарий

Решение

Около шара радиуса 2 описана правильная шестиугольная пирамида с высотой 5, а около неё описан второй шар. Найдите радиус второго шара.

Прислать комментарий

Решение

Расстояние от центра O шара радиуса 12, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, до бокового ребра равно 4 . Найдите: 1) высоту пирамиды; 2) расстояние от точки O до боковой грани пирамиды; 3) радиус вписанного в пирамиду шара.

Прислать комментарий

Решение

Расстояние от центра O шара радиуса 6 , описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, до боковой грани равно 3. Найдите: 1) высоту пирамиды; 2) расстояние от точки O до бокового ребра пирамиды; 3) радиус вписанного в пирамиду шара.

Прислать комментарий

Решение

Расстояние от центра O шара, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, до бокового ребра равно 2 , а от O до боковой грани равно . Найдите: 1) высоту пирамиды; 2) радиус описанного вокруг пирамиды шара; 3) радиус вписанного в пирамиду шара.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 94 95 96 97 98 99 100 >> [Всего задач: 540]