Каталог по темам

Выбрано 14 задач

Докажите следующие свойства подходящих дробей:
а) P_kQ_k–2 – P_k–2Q_k = (–1)^ka_k (k ≥ 2);
б) – = (k ≥ 1);
в) Q₁ < Q₂ < ... < Q_n;
г) < < < ... ≤ ≤ ... < < < ;

д)

(k, l ≥ 0).

Решение

Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, проходит через середину другой стороны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

Решение

Автор: Сендеров В.А.

Для натуральных чисел a > b > 1 определим последовательность x₁, x₂, ... формулой . Найдите наименьшее d, при котором ни при каких a и b эта последовательность не содержит d последовательных членов, являющихся простыми числами.

Решение

Из точки M на плоскость α опущен перпендикуляр MH длины 3 и проведены две наклонные, составляющие с перпендикуляром углы по 30^o . Угол между наклонными равен 60^o . а) Найдите расстояние между основаниями A и B наклонных. б) На отрезке AB как на катете в плоскости α построен прямоугольный треугольник ABC (угол A – прямой). Найдите объём пирамиды MABC , зная, что cos BCM = .

Решение

В треугольнике даны два угла α и β и радиус R описанной окружности. Найдите высоту, опущенную из вершины третьего угла треугольника.

Решение

Вневписанные окружности касаются сторон AB и AC треугольника ABC в точках P и Q соответственно. Точка L – середина PQ, точка M – середина BC. Точки L₁ и L₂ симметричны точке L относительно середин отрезков BM и CM соответственно. Докажите, что L₁P = L₂Q.

Решение

Автор: Волчкевич М.А.

Точки M и N – середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Перпендикуляр, опущенный из точки M на диагональ AC, и перпендикуляр, опущенный из точки N на диагональ BD, пересекаются в точке P. Докажите, что PA = PD.

Решение

Вычислите следующие цепные дроби:
а) [5; (1, 2, 1, 10}]; б) [5; (1, 4, 1, 10}]; в) [2; (1, 1, 3}].

Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Дан треугольник ABC. Пусть I – центр его вписанной окружности, и пусть X, Y, Z – центры вписанных окружностей треугольников AIB, BIC и AIC соответственно. Оказалось, что центр вписанной окружности треугольника XYZ совпадает с I. Обязательно ли тогда треугольник ABC равносторонний?

Решение

Последовательности {a_k} и {b_k} строятся по следующему закону: a₁ = 1, a_n+1 = min(a_n, b_n), b_n+1 = |b_n – a_n| (n ≥ 1).
а) Докажите, что a_n ≠ 0 и a_n стремится к 0 при n → ∞.
б) Докажите, что последовательность имеет предел и найдите этот предел.

Решение

В квадрат, площадь которого равна 18, вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника. Стороны прямоугольника относятся как 1 : 2.
Найдите площадь прямоугольника.

Решение

ABCD – данный параллелограмм. Через точку пересечения его диагоналей проведена перпендикулярная к BC прямая, которая пересекает BC в точке E, а продолжение AB – в точке F. Найдите BE, если AB = a, BC = b и BF = c.

Решение

Разложите в цепные дроби числа ¹⁴⁷/₁₃ и ¹²⁹/₁₁₁.

Решение

Через центр O окружности Σ , описанной около треугольника ABC , проведена прямая, параллельная BC и пересекающая стороны AB и AC в точках B1 и C1 соответственно. Окружность σ проходит через точки B1 и C1 и касается Σ в точке K . Найдите угол между прямыми AK и BC . Найдите площадь треугольника ABC и радиус окружности Σ , если BC=8 , AK=5 , B1C1=5 .

Решение

Задача 110815

Задача 115937

Задача 56896

Задача 64980

Задача 66709