Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно  p + q?

   Решение

Найти все такие тройки простых чисел x, y, z, что  19x − yz = 1995.

   Решение

Стороны параллелограмма равны a и b , а острый угол между диагоналями равен α . Найдите площадь параллелограмма.

   Решение

а) Из картона вырезали 7 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 6 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 7 нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)

б) Из картона вырезали 8 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 7 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 8 — нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)

   Решение

Окружности σ_B, σ_C – вневписанные для треугольника ABC (касаются соответственно сторон AC и AB и продолжений двух других сторон). Окружность ω_B симметрична σ_B относительно середины стороны AC, окружность ω_C симметрична σ_C относительно середины стороны AB. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ω_B и ω_C, делит периметр треугольника ABC пополам.

   Решение

Барон Мюнхгаузен рассказывал, что у него есть карта страны Оз с пятью городами. Каждые два города соединены дорогой, не проходящей через другие города. Каждая дорога пересекает на карте не более одной другой дороги (и не более одного раза). Дороги обозначены жёлтым или красным (по цвету кирпича, которым вымощены), и при обходе вокруг каждого города (по периметру) цвета выходящих из него дорог чередуются. Могут ли слова барона быть правдой?

   Решение

Из вершины A квадрата ABCD со стороной 1 проведены два луча, пересекающие квадрат так, что вершина C лежит между лучами. Угол между лучами равен β. Из вершин B и D проведены перпендикуляры к лучам. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров.

   Решение

Треть роты осталась в лагере, а остальные бойцы уехали на стрельбы. Оставшиеся в лагере съели за обедом четверть приготовленной похлёбки, а вернувшиеся вечером со стрельб получили порции в полтора раза большие, чем давали за обедом. Сколько похлебки осталось для ротной собаки Найды?

   Решение

Докажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямые $AC_1$ и $BD$ перпендикулярны.

   Решение

Дан равносторонний треугольник АВС. Точка К – середина стороны АВ, точка М лежит на стороне ВС, причём  ВМ : МС = 1 : 3.  На стороне АС выбрана точка P так, что периметр треугольника РКМ – наименьший из возможных. В каком отношении точка Р делит сторону АС?

   Решение

В треугольнике ABC даны длины сторон AB = , BC = и AC = 3. Сравните величину угла BOC и 112, 5^o, если O — центр вписанной в треугольник ABC окружности.

   Решение

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D . Окружность, описанная около треугольника BCD , пересекает сторону AC в точке M , а окружность, описанная около треугольника ACD , пересекает сторону BC в точке N (точки M и N отличны от точки C ). Пусть O – центр описанной окружности треугольника CMN . Докажите, что прямая OD перпендикулярна стороне AB .

   Решение

Из точки M на плоскость α опущен перпендикуляр MH длины и проведены две наклонные, составляющие с перпендикуляром углы по 60^o . Угол между наклонными равен 120^o . а) Найдите расстояние между основаниями A и B наклонных. б) На отрезке AB как на катете в плоскости α построен прямоугольный треугольник ABC (угол A – прямой). Найдите объём пирамиды MABC , зная, что cos BMC = - .

   Решение

Докажите, что две непересекающиеся окружности S1 и S2 (или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.

   Решение

Дана пирамида SA₁A₂...A_n, основание которой – выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. Для каждого  i = 1, 2, ..., n  в плоскости основания построили треугольник X_iA_iA_i+1, равный треугольнику SA_iA_i+1 и лежащий по ту же сторону от прямой A_iA_i+1, что и основание (мы полагаем  A_n+1 = A₁).  Докажите, что построенные треугольники покрывают всё основание.

   Решение

Решите уравнение в целых числах  m² − n² = 2002.

   Решение

Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду SKLM ( S – вершина), а также вписана в прямую треугольную призму ABCA1B1C1 , у которой AB=AC , BC=4 , боковое ребро AA1 лежит на прямой KL . Найдите радиус сферы, если известно, что прямая SM параллельна плоскости BB1C1C .

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 75]      

Сфера вписана в четырёхугольную пирамиду SABCD , основанием которой является трапеция ABCD , а также вписана в правильный тетраэдр, одна из граней которого совпадает с боковой гранью пирамиды SABCD . Найдите радиус сферы, если объём пирамиды SABCD равен 64.

Прислать комментарий

Решение

Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду SABC ( S – вершина), а также вписана в прямую треугольную призму KLMK1L1M1 , у которой KL=KM= , а боковое ребро KK1 лежит на прямой AB . Найдите радиус сферы, если известно, что прямая SC параллельна плоскости LL1M1M .

Прислать комментарий

Решение

Сфера вписана в четырёхугольную пирамиду SKLMN , основанием которой является трапеция KLMN , а также вписана в правильный тетраэдр, одна из граней которого совпадает с боковой гранью пирамиды SKLMN . Найдите радиус сферы, если площадь трапеции KLMN равен 3 .

Прислать комментарий

Решение

Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду SKLM ( S – вершина), а также вписана в прямую треугольную призму ABCA1B1C1 , у которой AB=AC , BC=4 , боковое ребро AA1 лежит на прямой KL . Найдите радиус сферы, если известно, что прямая SM параллельна плоскости BB1C1C .

Прислать комментарий

Решение

Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу, причём центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что в основания пирамиды можно вписать окружность.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 75]