Страница:
<< 3 4 5 6 7 8
9 >> [Всего задач: 43]
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC
и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O.
Пусть M и N – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники ADE и ODE. Докажите, что середина меньшей дуги DE лежат на прямой MN.
Диагонали выпуклого четырёхугольника
ABCD
пересекаются в точке
M . Пусть
P и
Q —
центры окружностей, описанных вокруг треугольников
ABM и
CDM . Докажите, что
AB+CD < 4
PQ
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
На сторонах AC и BC неравнобедренного треугольника ABC во внешнюю сторону построены как на основаниях равнобедренные треугольники AB'C и CA'B с одинаковыми углами при основаниях, равными φ. Перпендикуляр, проведённый из вершины C к отрезку A'B', пересекает серединный перпендикуляр к отрезку AB в точке C1. Найдите угол AC1B.
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11
|
Окружность, вписанная в четырёхугольник
ABCD , касается его
сторон
DA ,
AB ,
BC и
CD в точках
K ,
L ,
M и
N
соответственно. Пусть
S1
,
S2
,
S3
и
S4
–
окружности, вписанные в треугольники
AKL ,
BLM ,
CMN и
DNK
соответственно. К окружностям
S1
и
S2
,
S2
и
S3
,
S3
и
S4
,
S4
и
S1
проведены общие касательные,
отличные от сторон четырёхугольника
ABCD . Докажите, что
четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными, – ромб.
|
|
|
Сложность: 7-
Классы: 9,10,11
|
Четырехугольник
ABCD вписан в окружность с
центром
O . Точки
C' ,
D' симметричны ортоцентрам
треугольников
ABD и
ABC относительно
O . Докажите, что если
прямые
BD и
BD' симметричны относительно биссектрисы угла
B ,
то прямые
AC и
AC' симметричны относительно биссектрисы угла
A .
Страница:
<< 3 4 5 6 7 8
9 >> [Всего задач: 43]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Вписанный угол
>>
Биссектриса делит дугу пополам
Решение 
