Версия для печати
Убрать все задачи
Докажите, что в дереве есть вершина, из которой выходит ровно одно ребро (такая вершина называется висячей).
Решение
Точки a1, a2 и a3 расположены на единичной окружности zz = 1.
Докажите, что точка h = a1 + a2 + a3 является ортоцентром треугольника с вершинами в точках a1, a2 и a3.
Решение
Карта Квадрландии представляет собой квадрат 6×6 клеток. Каждая клетка – либо королевство, либо спорная территория. Королевств всего 27, а спорных территорий 9. На спорную территорию претендуют все королевства по соседству и только они (то есть клетки, соседние со спорной по стороне или вершине). Может ли быть, что на каждые две спорные территории претендует разное число королевств?
Решение
На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся
отрезки, сумма длин которых равна
p. Обозначим эту систему
отрезков
A. Пусть
B — дополнительная система отрезков
(отрезки систем
A и
B не имеют общих внутренних точек и
полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует
параллельный перенос
T, для которого пересечение
B и
T(
A)
состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше
p(1 -
p)/2.
Решение
На доске написаны числа 0, 1, 0, 0. За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них.
Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными?
Решение
Представьте числовое выражение 2·2009² + 2·2010² в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
.
Решение
Фильтр
