Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан вписанный в окружность пятиугольник. Докажите, что отношение его площади к сумме диагоналей не превосходит четверти радиуса окружности.

   Решение

---

В параллелограмме $ABCD$ точки $E$ и $F$ выбираются на сторонах $BC$ и $AD$ соответственно так, что $EF=ED=DC$. Пусть $M$ – середина $BE$, а $MD$ пересекает $EF$ в точке $G$. Докажите, что углы $EAC$ и $GBD$ равны.

   Решение

---

Вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность ω. Точка F – ортоцентр треугольника ABC; продолжение высоты CE пересекает ω в точке G. Докажите, что высота AD является касательной к описанной окружности треугольника GBF.

   Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 604]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108925

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Диагональ AC выпуклого четырёхугольника ABCD делится точкой пересечения диагоналей пополам. Известно, что  ∠ADB = 2∠CBD.  На диагонали BD нашлась точка K, для которой  CK = KD + AD.  Докажите, что  ∠BKC = 2∠ABD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109503

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность, касающаяся сторон AC, BC и AB в точках M, K и N соответственно. Через точку K провели прямую, перпендикулярную отрезку MN. Она пересекла катет AC в точке X. Докажите, что  CK = AX.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110225

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Медиану AA₀ треугольника ABC отложили от точки A₀ перпендикулярно стороне BC во внешнюю сторону треугольника. Обозначим второй конец построенного отрезка через A₁. Аналогично строятся точки B₁ и C₁. Найдите углы треугольника A₁B₁C₁, если углы треугольника ABC равны 30°, 30° и 120°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111625

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Биссектриса угла ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH к гипотенузе AB. Биссектрисы углов CAB и BCH пересекаются в точке M, а биссектрисы углов CBA и ACH – в точке N. Докажите, что  MN || AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115955

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность ω. Точка F – ортоцентр треугольника ABC; продолжение высоты CE пересекает ω в точке G. Докажите, что высота AD является касательной к описанной окружности треугольника GBF.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 604]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями