Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a . Боковая грань образует с плоскостью основания угол 45o . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Вниз   Решение


Угол боковой грани с плоскостью основания правильной четырёхугольной пирамиды равен β . Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

ВверхВниз   Решение


Некоторые из чисел a1, a2, ..., a200 написаны синим карандашом, а остальные — красным. Если стереть все красные числа, то останутся все натуральные числа от 1 до 100, записанные в порядке возрастания. Если же стереть все синие числа, то останутся все натуральные числа от 100 до 1, записанные в порядке убывания. Докажите, что среди чисел a1, a2, ..., a100 содержатся все натуральные числа от 1 до 100 включительно.

ВверхВниз   Решение


Найдутся ли натуральные числа x, y и z, удовлетворяющие условию  28x + 30y + 31z = 365?

ВверхВниз   Решение


Дед барона К.Ф.И. фон Мюнхгаузена построил квадратный замок, разделил его на 9 квадратных залов и в центральном разместил арсенал. Отец барона разделил каждый из восьми оставшихся залов на 9 равных квадратных холлов и во всех центральных холлах устроил зимние сады. Сам барон разделил каждый из 64 свободных холлов на 9 равных квадратных комнат и в каждой из центральных комнат устроил бассейн, а остальные сделал жилыми. Барон хвастается, что ему удалось обойти все жилые комнаты, побывав в каждой по одному разу, и вернуться в исходную (в каждой стене между двумя соседними жилыми комнатами проделана дверь). Могут ли слова барона быть правдой?

ВверхВниз   Решение


а) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 2 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.

б) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 3 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.

ВверхВниз   Решение


Любознательный турист хочет прогуляться по улицам Старого города от вокзала (точка A на плане) до своего отеля (точка B). Турист хочет, чтобы его маршрут был как можно длиннее, но дважды оказываться на одном и том же перекрестке ему неинтересно, и он так не делает. Нарисуйте на плане самый длинный возможный маршрут и докажите, что более длинного нет.

ВверхВниз   Решение


Угол между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды равен γ . Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

ВверхВниз   Решение


Угол бокового ребра с плоскостью основания правильной четырёхугольной пирамиды равен α . Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

ВверхВниз   Решение


Петя тратит ⅓ своего времени на игру в футбол, ⅕ – на учебу в школе, ⅙ – на просмотр кинофильмов, 1/70 – на решение олимпиадных задач и ⅓ – на сон. Можно ли так жить?

ВверхВниз   Решение


В примере на сложение двух чисел первое слагаемое меньше суммы на 2000, а сумма больше второго слагаемого на 6.
Восстановите пример.

ВверхВниз   Решение


Автор: Карасев Р.

2011 складов соединены дорогами так, что от каждого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. На складах находится по  x1, ..., x2011  кг цемента соответственно. За один рейс можно провезти с произвольного склада на другой по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. В итоге на складах по плану должно оказаться по  y1, ..., y2011  кг цемента соответственно, причём
x1 + x2 + ... + x2011 = y1 + y2 + ... + y2011. За какое минимальное количество рейсов можно выполнить план при любых значениях чисел xi и yi и любой схеме дорог?

ВверхВниз   Решение


Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 60o . Найдите угол между боковыми гранями пирамиды.

ВверхВниз   Решение


Боковая грань образует с плоскостью основания правильной треугольной пирамиды угол 60o . Найдите угол между боковыми гранями.

ВверхВниз   Решение


Боковая грань образует с плоскостью основания правильной треугольной пирамиды угол 60o . Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.

ВверхВниз   Решение


Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 100×100, и в ней участвует 20 различных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, что любая фигура с любого места бьет не более 20 полей (но больше о правилах ничего не сказано, например, если фигуру А передвинуть, то о том, как изменится множество битых полей мы ничего не знаем). Докажите, что можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 1015]      



Задача 111330

Тема:   [ Задачи с ограничениями ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Турнир, в котором участвовало 20 спортсменов, судили 10 арбитров. Каждый сыграл с каждым один раз, и каждую встречу судил ровно один арбитр. После окончания каждой игры оба участника фотографировались с арбитром. Через год после турнира была найдена стопка из всех этих фотографий. Оказалось, что не про каждого можно определить, кем он является – спортсменом или арбитром. Сколько могло быть таких людей?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111897

Темы:   [ Обход графов ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Четность и нечетность ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 6,7,8,9

Любознательный турист хочет прогуляться по улицам Старого города от вокзала (точка A на плане) до своего отеля (точка B). Турист хочет, чтобы его маршрут был как можно длиннее, но дважды оказываться на одном и том же перекрестке ему неинтересно, и он так не делает. Нарисуйте на плане самый длинный возможный маршрут и докажите, что более длинного нет.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115978

Темы:   [ Правило произведения ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 100×100, и в ней участвует 20 различных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, что любая фигура с любого места бьет не более 20 полей (но больше о правилах ничего не сказано, например, если фигуру А передвинуть, то о том, как изменится множество битых полей мы ничего не знаем). Докажите, что можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116428

Темы:   [ Сочетания и размещения ]
[ Доказательство от противного ]
[ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На плоскости дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная, в которой 31 звено (соседние звенья не лежат на одной прямой). Через каждое звено провели прямую, содержащую это звено. Получили 31 прямую, некоторые, возможно, совпали. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116566

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Карасев Р.

2011 складов соединены дорогами так, что от каждого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. На складах находится по  x1, ..., x2011  кг цемента соответственно. За один рейс можно провезти с произвольного склада на другой по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. В итоге на складах по плану должно оказаться по  y1, ..., y2011  кг цемента соответственно, причём
x1 + x2 + ... + x2011 = y1 + y2 + ... + y2011. За какое минимальное количество рейсов можно выполнить план при любых значениях чисел xi и yi и любой схеме дорог?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 1015]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .