Каталог по темам

Задачи

Страница: << 148 149 150 151 152 153 154 >> [Всего задач: 769]

Задача 108158

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Автор: Сонкин М.

Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD , касается его сторон DA , AB , BC и CD в точках K , L , M и N соответственно. Пусть S1 , S2 , S3 и S4 – окружности, вписанные в треугольники AKL , BLM , CMN и DNK соответственно. К окружностям S1 и S2 , S2 и S3 , S3 и S4 , S4 и S1 проведены общие касательные, отличные от сторон четырёхугольника ABCD . Докажите, что четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными, – ромб.

Прислать комментарий Решение

Задача 116496

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Две окружности касаются внешним образом. A – точка касания их общей внешней касательной с одной из окружностей, B – точка той же окружности, диаметрально противоположная точке A. Докажите, что длина касательной, проведённой из точки B ко второй окружности, равна диаметру первой окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64721

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Дан треугольник ABC. Обозначим через M середину стороны AC, а через P – середину отрезка CM. Описанная окружность треугольника ABP пересекает сторону BC во внутренней точке Q. Докажите, что ∠ABM = ∠MQP.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52647

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Стороны треугольника равны 10, 10, 12. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.

Прислать комментарий Решение

Задача 64774

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Ивлев Ф., Нилов Ф.

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AM и CM выбраны точки P и Q соответственно таким образом, что PQ = ^AC/₂. Описанная окружность треугольника ABQ второй раз пересекает сторону BC в точке X, а описанная окружность треугольника BCP, второй раз пересекает сторону AB в точке Y. Докажите, что четырёхугольник BXMY – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 148 149 150 151 152 153 154 >> [Всего задач: 769]