Каталог по темам

Задачи

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 181]

Задача 116120

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Пусть M и N – середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF. Найдите угол между прямыми AM и BN.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116246

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Площадь многоугольника	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Кожевников П.А.

На сторонах правильного 2009-угольника отметили по точке. Эти точки являются вершинами 2009-угольника площади S. Каждую из отмеченных точек отразили относительно середины стороны, на которой эта точка лежит. Докажите, что 2009-угольник с вершинами в отражённых точках также имеет площадь S.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116823

Темы:	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Сферы (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Гальперин Г.А.

Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника:
а) равные многоугольники;
б) правильные многоугольники?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116832

Темы:	[	Центр масс	]
	[	Хорды и секущие (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Митрофанов И.В.

а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.

б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник (n > 2), его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55373

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Векторы сторон многоугольников	]
	[	Центр масс	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Пусть О – центр правильного многоугольника A₁A₂A₃...A_n, X – произвольная точка плоскости. Докажите, что:
a)

б)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 181]