Каталог по темам

Задачи

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 152]

Задача 65081

Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Признаки подобия	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Берлов С.Л.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы B и D равны, CD = 4BC, а биссектриса угла A проходит через середину стороны CD.
Чему может быть равно отношение AD : AB?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116872

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Дана равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). На дуге AD (не содержащей точек B и C) описанной окружности этой трапеции произвольно выбрана точка M. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из вершин A и D на отрезки BM и CM, лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110211

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108226

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Пусть A', B' и C' – точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника ABC. Описанные окружности треугольников A'B'C, AB'C' и A'BC' пересекают второй раз описанную окружность треугольника ABC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника с его сторонами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73714

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Итерации	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Сжимающие отображения и неподвижные точки	]
	[	Композиции движений. Теорема Шаля	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Васильев Н.Б.

Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T₁; аналогично определим треугольники T₃, T₄ и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
а) треугольник T₁ был остроугольным?
б) в последовательности T₁, T₂, T₃, ... встретился прямоугольный треугольник T_n (и таким образом треугольник T_n+1 не определён)?
в) треугольник T₃ был подобен треугольнику T?
г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник T_n подобен треугольнику Т.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 152]