Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая, проходящая через точку K, пересекает первую окружность в точке L, а вторую – в точке M. Касательная к первой окружности, проходящая через точку L, пересекает вторую окружность в точках A и B (точка B лежит между A и L). Известно, что  BM = 3  и  KM = 1.  Найдите длину отрезка KL и расстояние от точки L до центра окружности, касающейся отрезка KB и продолжений отрезков AB и AK за точки B и K соответственно.

   Решение

В окружность Ω вписан остроугольный треугольник ABC, в котором  AB > BC.  Пусть P и Q – середины меньшей и большей дуг AC окружности Ω, соответственно, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на отрезок AB. Докажите, что описанная окружность треугольника BMC делит пополам отрезок BP.

   Решение

Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 1007]      

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 6, точки M и N – середины рёбер AB и B₁C₁ соответственно, а точка K расположена на ребре DC так, что
DK = 2KC.  Найдите
  а) расстояние от точки N до прямой AK;
  б) расстояние между прямыми MN и AK;
  в) расстояние от точки A₁ до плоскости треугольника MNK.

Прислать комментарий

Решение

В трапеции ABCD боковая сторона CD перпендикулярна основаниям, O – точка пересечения диагоналей. На описанной окружности треугольника OCD взята точка S, диаметрально противоположная точке O. Докажите, что  ∠BSC = ∠ASD.

Прислать комментарий

Решение

В окружность Ω вписан остроугольный треугольник ABC, в котором  AB > BC.  Пусть P и Q – середины меньшей и большей дуг AC окружности Ω, соответственно, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на отрезок AB. Докажите, что описанная окружность треугольника BMC делит пополам отрезок BP.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки C₁, A₁ и B₁ так, что  ∠(CC₁, AB) = ∠(AA₁, BC) = ∠(BB₁, CA) = α.  Прямые AA₁ и BB₁, BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁ пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
  а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
  б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен  2 cos α.

Прислать комментарий

Решение

В сегмент, ограниченный хордой и дугой AB окружности, вписана окружность ω с центром I. Обозначим середину указанной дуги AB через M, а середину дополнительной дуги через N. Из точки N проведены две прямые, касающиеся ω в точках C и D. Противоположные стороны AD и BC четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Y, а его диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что точки X, Y, I и M лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 1007]