Страница:
<< 171 172 173 174
175 176 177 >> [Всего задач: 1005]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Высоты $BE$ и $CF$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Перпендикуляр из $H$ к прямой $EF$ пересекает прямую $\ell$, проходящую через точку $A$ и параллельную $BC$, в точке $P$. Биссектрисы углов, образованных прямыми $\ell$ и $HP$, пересекают прямую $BC$ в точках $S$ и $T$. Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $PST$ касаются.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Пусть a, b и c – длины сторон треугольника площади S; α1, β1 и γ1 – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
a² ctg α1 + b² ctg β1 + c² ctg γ1 ≥ 4S, причём равенство достигается, только когда рассматриваемые треугольники подобны.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A1, B1 и C1, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Пусть точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$. Точка $A_1$, лежащая на дуге $BC$ описанной около треугольника окружности $\omega$, удовлетворяет условию $\angle BA_1P=\angle CA_1Q$. Точки $B_1$ и $C_1$ определены аналогично. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.
Страница:
<< 171 172 173 174
175 176 177 >> [Всего задач: 1005]
Фильтр
