Два многочлена  P(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx + d  и  Q(x) = x² + px + q  принимают отрицательные значения на некотором интервале I длины более 2, а вне I – неотрицательны. Докажите, что найдётся такая точка x₀, что  P(x₀) < Q(x₀).

   Решение

Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.

   Решение

По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее– полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.

   Решение

Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к $b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.

   Решение

Школьный чемпионат по настольному теннису проводили по олимпийской системе. Победитель выиграл шесть партий. Сколько участников турнира выиграло игр больше, чем проиграло? (На турнире по олимпийской системе участников разбивают на пары. Те, кто проиграл игру в первом туре, выбывают. Тех, кто выиграл в первом туре, снова разбивают на пары. Те, кто проиграл во втором туре, выбывают и т. д. В каждом туре для каждого участника нашлась пара.)

   Решение

Произведение квадратных трёхчленов  x² + a₁x + b₁,  x² + a₂x + b₂,  ...,  x² + a_nx + b_n  равно многочлену  P(x) = x²ⁿ + c₁x^2n–1 + c₂x^2n–2 + ... + c_2n–1x + c_2n,  где коэффициенты  c₁, c₂, ..., c_2n  положительны. Докажите, что для некоторого k  (1 ≤ k ≤ n)  коэффициенты a_k и b_k положительны.

   Решение

Для игры в "Морской бой" на поле 8×8 клеток расставили 12 "двухпалубных" кораблей. Обязательно ли останется место для "трёхпалубного" корабля?  ("Двухпалубный" корабль – прямоугольник 1×2, а "трёхпалубный" – 1×3. Корабли могут соприкасаться, но накладываться друг на друга не должны.)

   Решение

На продолжении диаметра AB окружности отложен отрезок BC , равный диаметру. Прямая, проходящая через точку C , касается окружности в точке M . Найдите площадь треугольника ACM , если радиус окружности равен R .

   Решение

Разрежьте по клеточкам квадрат 7×7 на девять прямоугольников (не обязательно различных), из которых можно будет сложить любой прямоугольник со сторонами, не превосходящими 7.

   Решение

В волейбольном турнире с участием 73 команд каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В конце турнира все команды разделили на две непустые группы так, что каждая команда первой группы одержала ровно n побед, а каждая команда второй группы – ровно m побед. Могло ли оказаться, что  m ≠ n?

   Решение

Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Можно ли из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее чем за час?

   Решение

Впишите в клетки квадрата 3×3 числа так, что если в качестве коэффициентов a, b, c  (a ≠ 0)  квадратного уравнения  ax² + bx + c = 0  взять числа из любой строки (слева направо), столбца или диагонали (сверху вниз) квадрата, то у получившегося уравнения будет хотя бы один корень.

   Решение

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M(- 3;1) параллельно а) оси Ox; б) оси Oy.

   Решение

Два фокусника показывают зрителю такой фокус. У зрителя есть 24 карточки, пронумерованные числами от 1 до 24. Он выбирает из них 13 карточек и передаёт первому фокуснику. Тот возвращает зрителю две из них. Зритель добавляет к этим двум одну из оставшихся у него 11 карточек и, перемешав, передаёт эти три карточки второму фокуснику. Каким образом фокусники могут договориться так, чтобы второй всегда с гарантией мог определить, какую из трёх карточек добавил зритель?

   Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 1036]      

Семизначный код, состоящий из семи различных цифр, назовем хорошим. Паролем сейфа является хороший код. Известно, что сейф откроется, если введён хороший код и на каком-нибудь месте цифра кода совпала с соответствующей цифрой пароля. Можно ли гарантированно открыть сейф быстрее, чем за семь попыток?

Прислать комментарий

Решение

Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Можно ли из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее чем за час?

Прислать комментарий

Решение

У барона Мюнхгаузена есть 50 гирь. Веса этих гирь – различные натуральные числа, не превосходящие 100, а суммарный вес гирь – чётное число. Барон утверждает, что нельзя часть этих гирь положить на одну чашу весов, а остальные – на другую чашу так, чтобы весы оказались в равновесии. Могут ли эти слова барона быть правдой?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого натурального числа N найдутся такие две пары натуральных чисел, что суммы в парах одинаковы, а произведения отличаются ровно в N раз.

Прислать комментарий

Решение

В наборе несколько гирь, все веса которых различны. Известно, что если положить любую пару гирь на левую чашу, можно весы уравновесить, положив на правую чашу одну или несколько гирь из остальных. Найдите наименьшее возможное число гирь в наборе.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 1036]