Подтемы:
- Классическая комбинаторика (502 задачи)
- Треугольник Паскаля и бином Ньютона (107 задач)
- Производящие функции (20 задач)
- Числа Каталана (12 задач)
- Теория графов (384 задачи)
- Комбинаторика (прочее) (46 задач)
Фильтр
Выбрано 19 задач Убрать все задачи
По окружности выписано 10 чисел, сумма которых равна 100. Известно, что сумма каждых трёх чисел, стоящих рядом, не меньше 29.
Укажите такое наименьшее число А, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превосходит А.
Из вершины тупого угла А треугольника АВС опущена высота AD. Проведена окружность с центром D и радиусом DA, которая вторично пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите AC, если AB = c, AM = m и AN = n.
В связном графе степени четырёх вершин равны 3, а степени остальных вершин равны 4.
Докажите, что нельзя удалить ребро так, чтобы граф распался на две изоморфные компоненты связности.
В прямоугольном треугольнике ABC (∠B = 90°) проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H1, B1 соответственно; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H2, B2 соответственно. Пусть O – центр описанной окружности треугольника H1BH2. Докажите, что OB1 = OB2.
В стране 64 города, некоторые пары из них соединены дорогой, но нам неизвестно, какие именно. Можно выбрать любую пару городов и получить ответ на вопрос “есть ли дорога между ними?”. Нужно узнать, можно ли в этой стране добраться от любого города до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что не существует алгоритма, позволяющего сделать это менее чем за 2016 вопросов.
Полуокружность с диаметром AD касается катета BC прямоугольного треугольника ABC в точке М (см. рисунок).
Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.
а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи
F(x) = F0 + F1x + F2x² + ... + Fnxn + ...
может быть записана в виде где
=
,
=
.
б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.
Каждое из рёбер полного графа с 17 вершинами покрашено в один из трёх цветов.
Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.
Лёша нарисовал геометрическую картинку, обведя четыре раза свой пластмассовый прямоугольный треугольник, прикладывая короткий катет к гипотенузе и совмещая вершину острого угла с вершиной прямого. Оказалось, что "замыкающий" пятый треугольник – равнобедренный (см. рис., равны именно отмеченные стороны). Найдите острые углы Лёшиного треугольника?
Точка D – середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC, ∠ВАС = 35°. Точка B1 симметрична точке B относительно прямой СD.
Найдите угол AB1C.
На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?
В стране Мара расположено несколько замков. Из каждого замка ведут три дороги. Из какого-то замка выехал рыцарь. Странствуя по дорогам, он из каждого замка, стоящего на его пути, поворачивает либо направо, либо налево по отношению к дороге, по которой приехал. Рыцарь никогда не сворачивает в ту сторону, в которую он свернул перед этим. Доказать, что когда-нибудь он вернётся в исходный замок.
Докажите, что в плоском графе есть вершина, степень которой не превосходит 5.
Существует ли прямоугольный треугольник, у которого длины двух сторон – целые числа, а длина третьей стороны равна ?
Имеются два сосуда. В них разлили 1 л воды. Из
первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из
второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый,
затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем
воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько
воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в
них будет
л и
л с точностью до 1
миллилитра.
На плоскости отмечено 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары точек соединены отрезками. Известно, что никакая тройка отрезков не образует треугольника. Какое наибольшее число отрезков могло быть проведено?
Международная комиссия состоит из девяти человек. Материалы комиссии хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, сколько ключей для них нужно изготовить и как их разделить между членами комиссии, чтобы доступ к сейфу был возможен тогда и только тогда, когда соберутся не менее шести членов комиссии?
Прямая, перпендикулярная гипотенузе AB прямоугольного треугольника АВС, пересекает прямые АС и ВС в точках Е и D соответственно.
Найдите угол между прямыми AD и ВЕ.
В некоторой стране каждые два города соединены либо авиалинией, либо железной дорогой. Докажите, что
а) можно выбрать вид транспорта так, чтобы от каждого города можно было добраться до любого другого, пользуясь только этим видом транспорта;
б) из некоторого города, выбрав один из видов транспорта, можно добраться до любого другого города не более чем с одной пересадкой (пользоваться можно только выбранным видом транспорта);
в) каждый город обладает свойством из пункта б);
г) можно выбрать вид транспорта так, чтобы пользуясь только им, можно было добраться из каждого города до любого другого не более чем с двумя пересадками.
Задачи Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 1008]
Задача 30793 |
|
|
Докажите, что в любом связном графе можно удалить вершину вместе со всеми выходящими из нее рёбрами так, чтобы он остался связным.
|
|
Решение |
Задача 30794 |
|
|
В стране 100 городов, некоторые из которых соединены авиалиниями. Известно, что от каждого города можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Докажите, что можно побывать во всех городах, совершив не более а) 198 перёлетов; б) 196 перелётов.
|
|
|
Решение |
Задача 30803 |
|
|
Докажите, что в плоском графе есть вершина, степень которой не превосходит 5.
|
|
Решение |
Задача 30814 |
|
|
В некоторой стране каждые два города соединены либо авиалинией, либо железной дорогой. Докажите, что
а) можно выбрать вид транспорта так, чтобы от каждого города можно было добраться до любого другого, пользуясь только этим видом транспорта;
б) из некоторого города, выбрав один из видов транспорта, можно добраться до любого другого города не более чем с одной пересадкой (пользоваться можно только выбранным видом транспорта);
в) каждый город обладает свойством из пункта б);
г) можно выбрать вид транспорта так, чтобы пользуясь только им, можно было добраться из каждого города до любого другого не более чем с двумя пересадками.
|
|
|
Решение |
Задача 30816 |
|
|
Каждое из рёбер полного графа с 17 вершинами покрашено в один из трёх цветов.
Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.
|
|
|
Решение |
Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 1008]
